初中数学竞赛精品原则教程及练习（32）中位线一、内容提纲1.三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边二分之一。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和二分之一。2.中位线性质定理结论，兼有位置和大小关系，可以用它鉴定平行，计算线段长度，确定线段和、差、倍关系。3.运用中位线性质关键是从出现线段中点，找到三角形或梯形，波及作出辅助线。4.中位线性质定理，常与它逆定理结合起来用。它逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，① 一组平行线在一直线上截得相等线段，在其她直线上截得线段也相等② 通过三角形一边中点而平行于另一边直线，必平分第三边③ 通过梯形一腰中点而平行于两底直线，必平分另一腰5.有关线段中点其她定理尚有：① 直角三角形斜边中线等于斜边二分之一② 等腰三角形底边中线和底上高，顶角平分线互相重叠③ 对角线互相平分四边形是平行四边形④ 线段中垂线上点到线段两端距离相等因而怎样发挥中点作用必要全面考虑。二、例题例1.已知：△ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边作等腰直角三角形 ABM 和 CAN，P 是BC 中点。求证：PM＝PN 证明：作 ME⊥AB，NF⊥AC，垂足 E，F △ABM、△CAN是等腰直角三角形 ∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF， 根据三角形中位线性质 PE＝AC＝NF，PF＝AB＝ME PE∥AC，PF∥AB ∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC 即∠PEM＝∠PFN ∴△PEM≌△PFN ∴PM＝PN例 2.已知△ABC 中，AB＝10，AC＝7，AD 是角平分线，CM⊥AD 于 M，且 N 是 BC 中点。求 MN 长。 分析：N是BC中点，若M是另一边中点， 则可运用中位线性质求 MN 长， 根据轴称性质作出△AMC全等三角形即可。 辅助线是：延长CM交AB于E（证明略） 例 3.求证梯形对角线中点连线平行于两底，且等于两底差二分之一。已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，M、N 分别是 AC、BD 中点求证：MN∥AB∥CD，MN＝（AB－CD） 分析一： M 是 AC 中点，构造一种三角形，使 N 为另一边中点，以便运用中位线性质。∴连结 CN 并延长交 AB 于 E（如图 1）证△BNE≌△DNC 可得 N 是 CE 中点。（证明略）分析二：图 2 与图 1 思绪同样。分析三：直接选用△ABC，取 BC 中点 P 连结 MP 和 NP，证明 M，N，P 三点在同一直线上，措施也是运用中位线性质。例4.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE＝CF，M、N 分别是 BC 和 EF 中点 求证：MN∥AD 证明一：连结 EC，取 EC 中点 P，连结 PM、PNMP∥AB...
