2025年微积分知识点概要

微 积 分 (知识点概要)第一章 函数、极限与持续1．1 函数定义与符号1．2 极限概念与运算法则1．3 求极限的措施1．4 函数的持续性1．1 函数的定义（P1）1 函数的定义1．若变量 x、y 之间存在着确定的对应关系，即当 x 的值给定期，唯一 y 值随之也就确定，则称 y 是 x 的函数，记为 y=f(x)。 2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。 例如：y=lgx2 与 y =2lgx 就不是相似的函数，由于它们的定义域不一样。2 函数记号 一旦在问题中设定函数 y=f(x)，记号“f”就是表达确定的对应规则，f（3）就是表达按此对应规则在 x=3 时所对应的函数值 y 等。3 初等函数（P6） 称幂函数 xk（k 为常数），指数函数 ax ，对数函数 logax （a 为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。 凡由基本初等函数经有限次加、减、乘、除及有限次复合且能用一种式子体现的函数，称为初等函数。4 函数的简单性质（1）有界性：（P5） 对于函数 f(x)，若存在常数 M、m 对定义域内所有 x f(x)≤M 称 f(x)有上界 f(x)≥m 称 f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。（2）奇偶性：（P3） 若函数 f(x)的定义域有关 x=0 的对称区间，又对于定义域内的任意 x 均有 f(-x)=f(x) 则称 f(x)为偶函数。f(-x)=-f(x) 则称 f(x)为奇函数。（3）单调性：（P4） 若函数 f(x)在[a、b]上有定义 对∀x [a∊、b]x1﹤x2 时 f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗ f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘ （4）周期性:(P5)若存在常数 a(a≠0)，使对任意 x 且有 f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数 a 为 f(x)的周期。1．2 极限概念与运算法则1 极限的直观定义（P11） 当一种变量 f(x)在 x→a 的变化过程中变化趋势是无限地靠近于一种常数 b，则称变量 f(x)在 x→a 的过程中极限存在。称常数 b 为它的极限，记为 f(x)=b 否则就称极限不存在。 在极限不存在的情形中，若 f(x)在 xa 的过程中，其值无限增大，则规定写成： f(x)= +（对应地 有f(x)= -，f(x)=）在定义中要注意的是：xa 的变化过程是指 x 以任何方式向a 靠拢，且在靠拢的过程中一直有 x≠a。2 极限的精确定义（略） 若对∀ε﹥0，点有在∂≻0，当 0∣x-a∣≺≺∂时 有∣f(x)-b∣≺ε 成立。 则称在 xa 的过程中，f(x)以 b 为极限记为：f(x)=b3 极限的运算法则：（P16） 若f(x)和g(x) 均存在...