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数列经典题型总结

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一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和例1 (07高考山东文18)设是公比大于1 的等比数列,为数列的前项和.已知, 且构成等差数列.(1 )求数列的等差数列.(2)令求数列的前项和.练习:设Sn =1+2+3+…+n,n∈N* ,求的最大值。二、错位相减法例2 (07高考天津理21)在数列中, ,其中.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ) 求数列的前项和;.例3 (07高考全国Ⅱ文21) 设是等差数列, 是各项都为正数的等比数列, 且,,(Ⅰ)求, 的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n 项和.三、逆序相加法例4(07豫南五市二联理22. )设函数的图象上有两点P1 (x1, y1 )、P2 (x2 , y2) ,若,且点P 的横坐标为。(I)求证:P 点的纵坐标为定值, 并求出这个定值;(II) 若四、裂项求和法例5 求数列的前n 项和.例6 (06高考湖北卷理17)已知二次函数的图像经过坐标原点, 其导函数为, 数列的前n 项和为,点均在函数的图像上。(Ⅰ) 求数列的通项公式;(Ⅱ)设,是数列的前n 项和, 求使得对所有都成立的最小正整数m ;五、分组求和法例7 数列{an }的前n 项和, 数列{bn} 满 。(Ⅰ)证明数列{an} 为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn }的前n 项和Tn 。例 8 求()六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项及其特征, 然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法.例9 求之和。解:由于 (找通项及特征)∴= ( 分组求和)===例10 已知数列{an} :的值.解: (找通项及特征)= (设制分组) = ( 裂项)∴ (分组、裂项求和) = =类型1解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法) 求解。例:已知数列满足,,求.解: 由条件知:分别令,代入上式得个等式累加之, 即所以,类型2 解法: 把原递推公式转化为, 利用累乘法(逐商相乘法)求解.例:已知数列满足, ,求。解: 由条件知, 分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,例: 已知, ,求。。类型3(其中p ,q 均为常数,)。解法(待定系数法): 把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例: 已知数列中,,,求。解:设递推公式可以转化为即. 故递推公式为,令, 则,且。所以是以为首项,2 为公比的等比数列,则,所以。变式:递推式:。解法:只需构造数列,消去带来的差异.类型4 (其中p ,q 均为常数,) 。 (,其中p ,q , r 均为...

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