2025年含绝对值竞赛题的求解策略

含绝对值竞赛题的求解方略浙江上虞春晖中学 王启东（312353）有关含绝对值的试题，尤其是绝对值与不等式的综合试题在各级各类数学竞赛中频频出现，本文就此简介某些常见的求解方略。 1、凑配的方略该方略是根据题设条件或结论进行凑配，如：分组、添项、裂项等措施，以达到处理问题的目的。例 1、函数f ( x)在[0,1]上持续，f (0)=f (1)，且对任意不一样的x1, x2∈[0,1]， 均有|f ( x1)−f ( x2)|<|x1−x2|，求证：|f ( x2)−f ( x1)|<12 （1983 年全国联赛试题） 解： f ( x)在[0,1]上持续，∴f ( x)在[0,1]上有最大值和最小值。 不妨设最大值M=f (t 1 ),最小值m=f (t2),t1,t2∈[0,1]（1）当|t1−t2|≤12 时，|f ( x2)−f ( x1)|≤|f (t1)−f (t2)|<|t1−t2| 即：|f ( x2)−f ( x1)|<12（2）当|t1−t2|> 12 时，设t 1 12 |f ( x2)−f ( x1)|≤|f (t1)−f (t2)| =|f (t1)−f ( 0)+f (1)−f (t2)| ¿|f (t1)−f (0)|+|f (1)−f (t2)| ¿|t 1−0|+|1−t 2| =1−(t2−t1)< 12若t 21 无解， 求证：|b|≤1 （第 15 届全苏数学奥林匹克试题）证：取x=0, π , π3 , 2π3 分别代入acos x+b cos3 x≤1得：a+b≤1,−a−b≤1, a2−b≤1,−a2 +b≤1∴−1≤a+b≤1且−1≤a2−b≤1即−2≤a−2b≤2∴−3≤3b≤3即：...