2025年全国高中数学联合竞赛一试A卷VIP专享

全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）试题参照答案及评分原则〔A 卷〕讲明：1．评阅试卷时，请根据本评分原则．选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分原则的评分档次给分，不要增长其他中间档次．2．假如考生的解答措施和本解答不一样，只要思绪合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则合适划分档次评分，解答题中 5 分为一种档次，不要增长其他中间档次．一、选择题〔此题总分值 36 分，每题 6 分〕1．函数在上的最小值是 〔 C 〕A．0 B．1 C．2 D．3[解] 当时，，因此，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为 2．2．设，，假设，那么实数的取值范围为 〔 D 〕A． B． C． D．[解] 因有两个实根 ，，故等价于且，即且，解之得．3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，竞赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，那么竞赛停止时已打局数的期望为 〔 B 〕A. B. C. D. [解法一] 依题意知，的所有也许值为 2，4，6.设每两局竞赛为一轮，那么该轮终止时竞赛停止的概率为 ．假设该轮终止时竞赛还将持续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，目前，该轮竞赛成果对下轮竞赛与否停止没有阻碍．从而有 ， ， ，故．[解法二] 依题意知，的所有也许值为 2，4，6.令表达甲在第局竞赛中获胜，那么表达乙在第局竞赛中获胜．由独立性与互不相容性得， ， ，故．4．假设三个棱长均为整数〔单位：cm〕的正方体的表面积之和为 564 cm2，那么这三个正方体的体积之和为 〔 A 〕A. 764 cm3或 586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或 564 cm3 D. 586 cm3[解] 设这三个正方体的棱长分不为，那么有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．假 设， 那 么， 易 知，， 得 一 组 解．假设，那么，．但，，从而或5．假设，那么无解，假设，那么无解．目前无解．假设，那么，有唯独解，．假设，那么，目前，．故，但，故，目前无解．综上，共有两组解或体积为cm3或cm3．5．方程组的有理数解的个数为 〔 B 〕A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 假设，那么解得或假设，那么由得． ①由得． ② 将②代入得． ③由①得，代入③化简得.易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理...