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2025年高三复习导数常见题型归纳

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导数常见题型归纳1.高考命题回忆例 1.(全国 1)已知函数=,=,若曲线和曲线都过点 P(0,2),且在点 P 处有相似的切线(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2 时,≤,求的取值范围。分析:⑴ ⑵由⑴知,设,则由已知,令① 若则,从而当时,,递减时,0,递增。故当时即恒成立。② 若 则。。因此在上单调递增,而.因此时,恒成立。③ 若,则,从而不也许恒成立即不恒成立。综上所述。的取值范围例 2.(全国 2)已知函数.(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;(Ⅱ)当时,证明.分析:(Ⅰ)。在上减。在上增。(Ⅱ)当。时,。故只需证明时。当时。在上增。又故在上有唯一实根,且。当时,,当时,从而时,。故综上知,当时,证明.例 3. (全国 1)设函数,曲线在点(1,)处的切线为. (Ⅰ)求; (Ⅱ)证明:.(1)解 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aexln x+ex-ex-1+ex-1.由题意可得 f(1)=2,f′(1)=e.故 a=1,b=2.(2)证明 由(1)知,f(x)=exln x+ex-1, 从而 f(x)>1 等价于 xln x>xe-x-.设函数 g(x)=xln x,则 g′(x)=1+ln x. 因此当 x∈时,g′(x)<0;当 x∈时,g′(x)>0. 故 g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g=-. 设函数 h(x)=xe-x-,则 h′(x)=e-x(1-x).因此当 x∈(0,1)时,h′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而 h(x)在(0,+∞)上的最大值为 h(1)=-.综上,当 x>0 时,g(x)>h(x),即 f(x)>1.例 4.(全国 2)已知函数。(Ⅰ)讨论 的单调性;(Ⅱ)设 ,当时,,求的最大值;(Ⅲ)已知,估计 的近似值(精确到 0.001)。(Ⅰ) 因此在上递增(Ⅱ)。 。 ① 当时,,在上单调递增,而因此对任意② 当时,若满足即时。综上的最大值为 2(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,,当时,。因此的近似值为 0.693例 5【高考新课标 1】已知函数 f(x)=.(Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 的切线 ;(Ⅱ)用 表达 m,n 中的最小值,设函数 ,讨论 h(x)零点的个数.解 (1)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点(x0,0),则 f(x0)=0,f′(x0)=0.即解得 x0=,a=-.因此,当 a=-时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线.(2)当 x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0,从而 h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故 h(x)在(1,+∞)无零点.当 x=1 时,若 a≥-,则 f(1)=a+≥0,h(1)=min{f(1),g(1...

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