2025年高三复习导数常见题型归纳VIP专享

导数常见题型归纳1.高考命题回忆例 1.（全国 1）已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相似的切线（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若≥－2 时，≤，求的取值范围。分析：⑴ ⑵由⑴知，设，则由已知，令① 若则，从而当时，，递减时，0，递增。故当时即恒成立。② 若 则。。因此在上单调递增，而.因此时，恒成立。③ 若，则，从而不也许恒成立即不恒成立。综上所述。的取值范围例 2．（全国 2）已知函数．（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明．分析：（Ⅰ）。在上减。在上增。（Ⅱ）当。时，。故只需证明时。当时。在上增。又故在上有唯一实根，且。当时，，当时，从而时，。故综上知，当时，证明．例 3. (全国 1)设函数，曲线在点（1，）处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.(1)解 函数 f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.由题意可得 f(1)＝2,f′(1)＝e.故 a＝1,b＝2.(2)证明 由(1)知,f(x)＝exln x＋ex－1, 从而 f(x)>1 等价于 xln x>xe－x－.设函数 g(x)＝xln x,则 g′(x)＝1＋ln x. 因此当 x∈时,g′(x)<0；当 x∈时,g′(x)>0. 故 g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而 g(x)在(0,＋∞)上的最小值为 g＝-. 设函数 h(x)＝xe－x－,则 h′(x)＝e－x(1－x).因此当 x∈(0,1)时,h′(x)>0；当 x∈(1,＋∞)时,h′(x)<0.故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,从而 h(x)在(0,＋∞)上的最大值为 h(1)＝－.综上,当 x>0 时,g(x)>h(x),即 f(x)>1.例 4．（全国 2）已知函数。（Ⅰ）讨论 的单调性；（Ⅱ）设 ，当时，,求的最大值；（Ⅲ）已知，估计 的近似值（精确到 0.001）。（Ⅰ） 因此在上递增（Ⅱ）。 。 ① 当时，，在上单调递增，而因此对任意② 当时，若满足即时。综上的最大值为 2（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，当时，。因此的近似值为 0.693例 5【高考新课标 1】已知函数 f（x）=.(Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线 ；（Ⅱ）用 表达 m,n 中的最小值，设函数 ，讨论 h（x）零点的个数.解 (1)设曲线 y＝f(x)与 x 轴相切于点(x0,0),则 f(x0)＝0,f′(x0)＝0.即解得 x0＝,a＝－.因此,当 a＝－时,x 轴为曲线 y＝f(x)的切线.(2)当 x∈(1,＋∞)时,g(x)＝－ln x<0,从而 h(x)＝min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故 h(x)在(1,＋∞)无零点.当 x＝1 时,若 a≥－,则 f(1)＝a＋≥0,h(1)＝min{f(1),g(1...