等差数列的几个性质等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前 n 项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多.【性质 1】 等差数列{an}，m、p、q∈N*，假设存在实数 λ 使m= p+λq1+λ (λ≠-1),那么am=ap+λaq1+λ.证明：由等差数列{an}的通项公式 an=dn+a1-d 的几何意义：点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线，由斜率公式得am−apm−p =aq−amq−m ，因为m= p+λq1+λ ，所以p−mm−q =λ.所以 λ(am-aq)=ap-am.所以(1+λ)am=ap+λaq，即am=ap+λaq1+λ.评析：特别地,当 λ=1 时，2am=ap+aq，我们不妨将性质 1 称为等差数列的定比分点公式.【性质 2】 等差数列{an}，ni，mi∈N*，i=1,2,3,…,k,假设∑i=1kni=∑i=1kmi.那么∑i=1kam=∑i=1kam.证明：设等差数列{an}的公差为 d.根据 ani=ami+(ni-mi)d，i=1,2,3,…,k,那么∑i=1kani=∑i=1kami+(∑i=1kni−∑i=1kmi)d=∑i=1kami.所以∑i=1kani=∑i=1kami推论：等差数列{an}，ni，m∈N*，i=1,2,3,…,k,假设km=∑i=1kni.那么kam=∑i=1kani . 评析：本性质实质上是等差中项性质的推广.【性质 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d.n，m∈N*,那么Smm −Snn =12(m−n)d.证明:因为Smm −Snn =nSm−mSnmn=n[ ma1+ m(m−1)2d]−m[na1+ n(n−1)2d]mn=mna1+ mn(m−1)2d−mna1−mn(n−1)2dmn=m2n−mn−mn2+mn2mnd=m2n−mn22mnd=mn(m−n)2mnd=12(m−n)d所以Smm −Snn =12(m−n)d.评析：实质上数列{Snn }是公差为d2 的等差数列.【性质 4】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d.n，m∈N*,那么 S m+n=Sm+Sn+mnd. 证明：因为 Sm+n=Sn+(an+1+an+2+…+an+m)=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(am+nd)=Sn+(a1+a2+…+am)+mnd=Sm+Sn+mnd，所以 Sm+n=Sm+Sn+mnd.【性质 5】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn，假设 m=p+q(m、p、q∈N*且 p≠q),那么有Smm =S p−Sqp−q .证明：设等差数列{an}的公差为 d.因为 Sp-Sq=pa1+12 p(p-1)d-qa1-12 q(q-1)d=(p-q)［a1+12 (p+q-1)d］，所以S p−Sqp−q =a1+12 ( p+q−1)d.又因为Smm =a1+ 12 (m−1)d且 m=p+q，所以有Smm =S p−Sqp−q .推论：等差数列{an}前 n 项和为 Sn，假设 m+t=p+q(m、t、p、q∈N*且 m≠t,p≠q),那么Sm−Stm−t =S p−Sqp−q.【性质 6】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn.(1)当 n=2k(k∈N*)时，S2k=k(a k+ak+1);(2)当 n=2k-1(k∈N*)时，S2k-1=kak.
