等差数列的几个性质等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前 n 项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多
【性质 1】 等差数列{an}，m、p、q∈N*，假设存在实数 λ 使m= p+λq1+λ (λ≠-1),那么am=ap+λaq1+λ
证明：由等差数列{an}的通项公式 an=dn+a1-d 的几何意义：点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线，由斜率公式得am−apm−p =aq−amq−m ，因为m= p+λq1+λ ，所以p−mm−q =λ
所以 λ(am-aq)=ap-am
所以(1+λ)am=ap+λaq，即am=ap+λaq1+λ
评析：特别地,当 λ=1 时，2am=ap+aq，我们不妨将性质 1 称为等差数列的定比分点公式
【性质 2】 等差数列{an}，ni，mi∈N*，i=1,2,3,…,k,假设∑i=1kni=∑i=1kmi
那么∑i=1kam=∑i=1kam
证明：设等差数列{an}的公差为 d
根据 ani=ami+(ni-mi)d，i=1,2,3,…,k,那么∑i=1kani=∑i=1kami+(∑i=1kni−∑i=1kmi)d=∑i=1kami
所以∑i=1kani=∑i=1kami推论：等差数列{an}，ni，m∈N*，i=1,2,3,…,k,假设km=∑i=1kni
那么kam=∑i=1kani
评析：本性质实质上是等差中项性质的推广
【性质 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d
n，m∈N*,那么Smm −Snn =12(m−n)d
证明:因为Smm −Snn =nSm−mSnmn=n[ ma1+ m(m−1)2d]−m[na1+ n(n−1)2d]mn=mna1+ mn(m−1)2
