“等”对“不等”的启示 对于解集非空的一元二次不等式的求解，我们常用“两根之间”、“两根之外”这类简缩语来说明其结果，同时也表明了它的解法．这是用“等”来解决“不等”的一个典型例子．从表面上看，“等”和“不等”是对立的，但假如着眼于“等”和“不等”的关系，会发现它们之间相互联系的另一面．设Ｍ、Ｎ是代数式，我们把等式Ｍ＝Ｎ叫做不等式Ｍ＜Ｎ，Ｍ≤Ｎ，Ｍ＞Ｎ、Ｍ≥Ｎ相应的等式．我们把一个不等式与其相应的等式对比进行讨论，发现“等”是“不等”的“界点”、是不等的特例，略微深化一步，可以从“等”的解决来发现”不等”的解决思路、方法与技巧．本文通过几个常见的典型例题揭示“等”对于“不等”在问题解决上的启示． 1．否定特例，排除错解 解不等式的实践告诉我们，不等式的解区间的端点是它的相应等式（方程）的解或者是它的定义区间的端点（这里我们把＋∞、－∞也看作端点）．因此我们可以通过端点的验证，否定特例，排除错解，获得解决问题的启示． 例 1 满足ｓｉｎ（ｘ－π／4）≥1／2 的ｘ的集合是（）． Ａ．｛ｘ｜2 ｋ π＋5π／12≤ｘ≤2 ｋ π＋13π／12，ｋ∈Ｚ｝ Ｂ．｛ｘ｜2 ｋ π－π／12≤ｘ≤2 ｋ π＋7π／12，ｋ∈Ｚ｝ Ｃ．｛ｘ｜2 ｋ π＋π／6≤ｘ≤2 ｋ π＋5π／6，ｋ∈Ｚ｝ Ｄ．｛ｘ｜2 ｋ π≤ｘ≤2 ｋ π＋π／6，ｋ∈Ｚ｝∪｛2ｋ π＋5π／6≤（2 ｋ＋1）π，ｋ∈Ｚ｝（1991 年三南试题） 分析：当ｘ＝－π／12、ｘ＝π／6、ｘ＝0 时，ｓｉｎ（ｘ－π／4）＜0，因此排除Ｂ、Ｃ、Ｄ，故选Ａ． 例 2 不等式＋｜ｘ｜／ｘ≥0 的解集是（）． Ａ．｛ｘ｜－2≤ｘ≤2｝ Ｂ．｛ｘ｜－≤ｘ＜0 或 0＜ｘ≤2｝ Ｃ．｛ｘ｜－2≤ｘ＜0 或 0＜ｘ≤2｝ Ｄ．｛ｘ｜－≤ｘ＜0 或 0＜ｘ≤｝ 分析：由ｘ＝－2 不是原不等式的解排除Ａ、Ｃ，由ｘ＝2是原不等式的一个解排除Ｄ，故选Ｂ． 这两道题若按部就班地解来，例 1 是易错题，例 2 有一定的运算量．上面的解法省时省力，但似有“投机取巧”之嫌．选择题给出了三误一正的答案，这是问题情景的一部分．而且是重要的一部分．我们利用“等”与“不等”之间的内在联系，把目光投向解区间的端点，化繁为简，体现了具体问题具体解决的朴素思想，这种“投机取巧”正是抓住了问题的特征，体现了数学思维的敏捷性和数学地解决问题的机智．在解不等式的解答题中...
