函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列,假如存在常数,对任给,存在正整数,使当时,恒有,则称是数列的当趋于无穷时的极限,或称数列收敛于,记为.若的极限不存在,则称数列发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列收敛,即,则极限是唯一的．(2)有界性：若,则数列有界,即存在,使得对均有.(3) 局 部 保 号 性 ： 设, 且, 则 存 在 正 整 数, 当时 , 有.(4)若数列收敛于,则它的任何子列也收敛于极限.（二）函数极限的定义名称表达式任给存在当…时恒有当时 ,以为极限当时, 以为极限当时, 以为右极限当时, 以为左极限当时, 以为极限名称表达式任给存在当…时恒有当时 , 以为极限（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1．海涅定理：对任意一串,都有 ．2.充要条件：(1); (2).3.柯西准则：对任意给定的,存在,当,时,有.4. 夹 逼 准 则 ： 若 存 在, 当时 , 有, 且则.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的,有(或),且存在常数,使(或),则存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设.(1)若,则称是比高阶的无穷小量.(2).(3)是同阶无穷小量.(4),记为.(5)2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)当时,（五）重要定理 (必记容,理解掌握)定理 1 .定理 2.定理 3 (保号定理)：,当.定理 4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理 5 (夹逼定理)：设在的领域,恒有,且则．定理 6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理 7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量．定理 8 极限的运算法则：设,则(1)(2)(3)定理 9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．定理 10 初等函数在其定义域的区间连续．定理 11 设连续,则也连续．（六）重要公式 (重点记忆容,应考必备)(1)(2).( 通 过 变 量 替 换 , 这 两 个 公 式 可 写 成 更 加 一 般 的 形 式 ： 设,且则有,)(3)．(4)函数在处连续.(5)当时,以下各函数趋于的速度(6)几个常用极限.（七）连续函数的概念1. 在处连续,需满足三个条件：①在点的某个领域有定义②当时的极限存在③.2. 在左连续：在有定义,且.3. 在右连续：在有定义,且.4. 在连续：假如在点点连续...