函数的幂级数展开VIP专享

教案函 数 的 幂 级 数 展 开复旦大学纪修金路1． 教学容函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。2．指导思想（1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而有用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素养教育的一个不可忽视的环节。3. 教学安排首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关容：设函数 f (x)在 x0的某个邻域O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是 f (x) 在 x0的 Taylor 级数：（*） 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：(1)f (x) =ex= + …,x∈(-∞, +∞)。(2) f(x) = sinx = + …,x∈(-∞, + ∞)。(3)f (x) = cosx = + …, x∈(-∞, + ∞)。(4)f (x) =arctanx = + …,x∈[-1, 1]。(5)f (x) = ln(1 + x) = + …,x∈(-1, 1]。(6)，α≠0 是任意实数。当是正整数 m 时，f (x) = (1 + x)m= 1 + mx + + … + + xm，x∈(-∞, +∞)即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。当不为 0 和正整数时，, 其中 = , (n = 1,2,…) 和。设函数 f (x)在 x0的某个邻域 O(x0, r)中任意阶可导，要求它在 O(x0, r)中的幂级数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例介绍幂级数展开的一些方便而有用的方法：1． 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。例 1 求在的幂级数展开。解 利用部分分式得到，再利用（6）式（），得到， 例2求在的幂级数展开。解 ，利用...