判断函数单调性的常用方法

推断函数单调性的常用方法一、定义法设 x1，x2 是函数 f(x)定义域上任意的两个数，且 x1＜x2，若 f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若 f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.【例1】证明：当时，。证明：令所以，当时，，所以为严格递增的，所以。二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数 f(x)、g(x)在区间 B 上具有单调性，则在区间 B 上有：⑴ f(x)与 f(x)＋C（C 为常数）具有一样的单调性；⑵ f(x)与 c•f(x)当 c＞0 具有一样的单调性，当 c＜0 具有相反的单调性；⑷ 当 f(x)、g(x)都是增(减)函数，则 f(x)＋g(x)都是增(减)函数；⑸ 当 f(x)、g(x)都是增(减)函数，则 f(x)•g(x)当两者都恒大于 0 时也是增(减)函数，当两者都恒小于 0 时也是减(增)函数；三、同增异减法 是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数 y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性一样，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有一样的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； （2）互为反函数的两个函数有一样的单调性；（3）假如 f(x)在区间 D 上是增（减）函数，那么 f(x)在 D 的任一子区间上也是增（减）函数.设单调函数为外层函数，为层函数(1)若增，增，则增.(2)若增，减，则减.(3)若减，减，则增.(4)若减，增，则减.例 1. 求函数的单调区间.教学意图：先让学生学会找出外层函数和层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法.解题过程：外层函数：层函数：层函数的单调增区间：层函数的单调减区间：由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：复合函数的减区间为： 四、求导法 导数小于 0 就是递减，大于 0 递增，等于 0，是拐点极值点求函数值域的常用方法1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函...