3正余弦定理-解三角形

正弦、余弦定理 解斜三角形1、三角形基本公式2、三角形中的边角关系3、正弦定理4、余弦定理【例 1】在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且 a2－c2=ac－bc，求∠A 的大小及 b sin B 的值.c【例 2】已知锐角△ABC 中，sin（A+B）= 3 ，sin（A－B）= 1 .55（1）求证：tanA=2tanB；（2）设 AB=3，求 AB 边上的高.【例 3】已知：圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB  2 ， BC  6 ， CD  AD  4 ，求：四边形 ABCD 的面积. 【例 4】△ABC 中，cos B   5 ，cos C  4 .135（1）求 sin A 的值；（2）设△ABC 的面积 S 33 ，求 BC 的长.△ ABC2 【例 5】在△ABC 中，sinA= sin B  sin C ，推断这个三角形的形状. cos B  cos C3663参考答案： 典型例题b2  c2  a2222222【例 1】解： cos A 由于 a  c2bc ac  bcb  acb  c  a bccos A  12又 A 是 ΔABC 内角 A  60由于bsin B asin Asin B  b sin Aab sin Bb2 sin A则cac sin A 2 【例 2】（1） 证明： sin  A  B  35①sin  A  B  1 ②5①3×② 得2sin Acos B  4 cos Asin B  0 tan A  2 tan B  0tan A  2 tan B ③（2）解：设高为 CD，D 为垂足由于 tan  A  B tan A  tan B1  tan A tan B由于 ΔABC 为锐角三角形 A  B  π2cos  A  B   45tan  A  B  34则 3 tan A  tan B即 3  3 tan A tan B  4 tan A  4 tan B ④41  tan A tan B 由 ③ ④ 得 tan A  2 CD  2 【例 3】解：∵ ABCD 内接于圆tan B  2  62 B  D  π 则 AB  AD  DBcos B  cos D3 CD tan ACDtan B则 AC 2  42  42  2  42 cos D  22  62  2  2  6 cos B32  32 cos B  40  24 cos Bcos B  17 S 四边形 ABCDsin B  4 37 1 AD  DC  sin B  1 AB  BC  sin B  1  42  4 3  1  2  6  4 3  8222727【例 4】解：（1） ΔABC 中 cos B   5  013sin B  1213cos C  45sin C  35sin A  sin  B  C   sin B cos C  cos B sin C  12  4  ⎛  5 ⎞  3  33135⎜ 13 ⎟565（2） SΔ 33  1  AB  AC  sin AAB2 AC 2 2 AB AC cos A22⎝ AB  AC  65 ①由正弦定理 ABsin C ACsin B AC  20 AB②13①② 联立得 AB  132AC  10  BC b  c 1122b  cbc 【例 5 】解：由已知： a  a2  c2  b2  a2  b2  c21 a2b  bc2  a2c  b2c  c3  b32ac2ab a2 b  c  bc b  c  b  cb2  bc  c2   2 b  cbc a2  2bc  b2  c2  2bc a2  b2  c2ΔABC 是以 a 为斜边的直角三角形