9第九章-半角模型

第九章 半角模型② ∠2=∠AOB；②OA=OB。连接 F′B，将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置，连接 F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是 90°含 45°，120°含 60°。模型实例例 1．如图，已知正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段 CB、DC 于点 M、N。（1）求证：BM+DN=MN；（2）作 AH⊥MN 于点 H，求证：AH=AB。例 2．在等边△ABC 的两边 AB、AC 上分别有两点 M、N，D为△ABC 外一点， 且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。探究：当 M、N分别在线段 AB、AC上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系。（1）如图①，当 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；（2）如图②，当 DM≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想 并加以证明。例 3．如图，在四边形 ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，E、F 分别是 BC、CD 延长 线上的点，且∠EAF=∠BAD。求证：EF=BE-FD。热搜精练1．如图，正方形 ABCD，M 在 CB 延长线上，N 在DC 延长线，∠MAN=45°。 求证：MN=DN-BM。2．已知，如图①，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E 分别为线段 BC 上两动点，若∠DAE=45°。探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量 关系。小明的思路是：把△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到△ABE′，连接 E′D，使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动到线段 CB 的延长线上时，如图②， 其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。3．已知，在等边△ABC 中，点 O 是边 AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N 分别在直线 AC、BC 上，且∠MON=60°。（1）如图①，当 CM=CN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，请写出 AM、CN、MN 三者之间的数量关系；DCBAMN图 2AMBDCN1图BACDMNAFEBCD（2）如图②，当 CM≠CN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN 三者之间的数量关系。4．如...