λ_AC 1 = 44中学数学 年第 10 期关于两个著名定理联系的探讨410081 湖南师范大学数学系 沈文选我们运用有向线段和有向角来探讨塞瓦定理和梅涅劳斯定理的联系. A C ′ =C′B A C s i n ) < A CC ′ BC sin <) C′CB .定理 1设 A′、 B′、C′分别是 △ ABC 的三边 BC、C A、 AB 或其所在直线上的点, 令以上三式相乘, 分别应用 ①、② 式即得③、④ 式.B A ′ =,A′CC B ′ =,B′A ′= k, 则C′B上述定理 2,常称为角元形式的塞瓦定理和梅涅劳斯定理及其逆定理.( 1) A A′、B B′、CC′三线共点或平行的充要条件是λ _ k= 1.①( 2) A′、 B′、C′三点共直线的充要条件是λ _ k= - 1.②由定理 1 和定理 2,我们看到了塞瓦定理和梅涅劳斯定理的密切联系.定理 3 设 A1、 B1、C1 分别为△ ABC 的外接圆三段弧 BC、 CA、 AB 上 的 点 , 则 A A1、BB 、CC 三线共点的充要条件是显 然 ,上述定理 1 中 的 ( 1)、 ( 2) 的必要性即分别为塞瓦定理、梅涅劳斯定理,其充分性1B A 1 1 CB1 AC 1 = 1. ⑤A1CB1 AC1 B即分别为两定理的逆定理. 其证明在许多文献上均有, 例如文 [ 1]、 [ 2] 等 . 而且在 ① 式中 , λ、_ 、k 要么全为正值 ,要么其中两个为负值 , 另一个为正值; 在 ② 式 中 ,λ、_ 、k 要么一个为负数,两个为正值; 要么三个全为负值.定理 2设 A′、 B′、C′分别是 △ ABC 的证 明如 图 1, 设△ ABC 的外接圆半径为R , AA1交 BC 于 A′, B B1交CA 于 B′,CC1交 AB 于 C′.由 A、C1、 B、 A1、C、B1六点共圆及正弦定理 ,有图 1三边 BC、CA、 AB 或其所在直线上的点 ,记 <) 表有向角 (即逆时针方向表正角,顺时针方向表负角) ,则B A 1 =A1C同理 2R si n∠ B A A1 = 2R sin∠ A1 AC s i n < ) B A A ′ sin )< A′AC .( 1) A A′、B B′、CC′三线共点或平行的充要条件是CB s i n ) < C B B ′B1 Asi n <) B′B A , AC1 =C1 B s i n < ) A C C ′ sin <) C′CB . s i n < ) B A A ′ s i n < ) C B B ′ s i n < ) A C C ′ sin <) A′AC sin <) B′B A sin <) C′C B= 1.③( 2) A′、 B′、C′三点共直线的充要条件是以上三式相乘,并应用 ③ 式即得 ⑤ 式....
