函数极限保号性质及其应用

函数极限保号性质及其应用摘要：函数极限的保号性质在结合导数和积分讨论函数的其他性质方面有着广泛的应用，在应用中揭示了函数极限保号性的本质。关键词：保号性；极限；函数函数极限除唯一性、局部有界性、迫敛性和四则运算外，还有两个重要的性质，即局部保号性和保不等式性。两个性质均阐述了函数极限之间的大小和函数本身之间的大小间存在的因果关系，其中前者是由极限的大小推出函数的大小，即由极限的符号“保证”函数在局部的符号，故名局部保号性。后者则相反，结合极限的四则运算，可看成前者的推论。具体叙述如下：定理（局部保号性）若[limx→af（x）=A>0]，则[ δ>0]∃，当[x∈u0（a，δ）]时，有：1.[f（x）>0]2.[ r∈∀（0，A），f（x）>r>0]。推论 1 若[limx→af（x）=A]，[limx→ag（x）=B]，且[A>B]，则[ δ>0]∃，当[x∈u0（a，δ）]时，有：[f（x）>g（x）]。推论 2 若[limx→af（x）=A]，[limx→ag（x）=B]，且[ δ>0]∃，当[x∈u0（a，δ）]时，[f（x）>g（x）]，则[A≥B][1]。以上三条性质统称函数极限的局部保号性。它们在结合导数和积分讨论函数的其他性质方面有着广泛的应用，下举例说明。1 证明达布定理及其推论例 1（达布定理）若函数[f]在[[a，b]]上可导，且[f′+（a）≠f′_（b）]，[k]为介于[f′+（a）与 f′_（b）]之间的任一实数，则至少存在一点[ξ∈（a，b）]，使得[f′（ξ）=k][2]。证明作辅助函数[F（x）=f（x）-kx]，不妨设[f′+（a）由[f′+（a）由函数极限的局部保号性得：[ δ1>0][∃，使得∀x∈（a，a+δ1），有 F（x）-F（a）x-a<0]即当[x∈（a，a+δ1）]时，有[F（x）同理可知：[ δ2>0∃，使得当 x∈（b-δ2，b）时，有 F（x）另一方面，[F（x）]在[[a，b]]上可导，故在[[a，b]]上连续从而有最大值与最小值。而式（1）、式（2）说明[F（x）]的最小值一定不在两端点处取得，即在[（a，b）]内的一点[ξ]处[F（x）]取得最小值从而也是微小值。由费马定理知，[F′（ξ）=0]，即[f′（ξ）=k]。得证。注 1 极限值与零之间的大小比较是利用保号性质的先决条件。本题通过构造辅助函数，巧妙地把导数值和某常数之间的比较转化为导数值和零之间的比较，而函数在端点处的导数就是某极限表达式，很自然就想到利用保号性质将极限与零的大小转化为求极限的式子与零之间的大小，这正是“保号”的意义所在。注 2 达布定理的推论“若函数[f]在[[a，b]]上可导，[f′+（a）与 f′_（b）异号]，...