染色问题的计数方法河北张家口市第三中学王潇与染色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想,染色问题,解题方法技巧性强且灵活多变,故这类问题有利于培养学生的创新思维能力,分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。一、区域染色问题1.根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。例 1 要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图 1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？法，再给青海染色有 3 种方法，接着给西藏染色有 2 种方法最后给云南染色有 2 种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有 4X3X2X2=48 种2.根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。例 2（2003 年全国高考题）如图 2，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，5分析依题意至少要1)选用 3 种颜色。当选用三种颜色时，区域 2 与 4 必须同色2)现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？区域 3 与 5 必须同色，有 A3种。4当用四种颜色时，若区域 2 与 4 同色，则区域 3 与 5 不同色，有 A4种；若区域 3 与 5 同色，贝岖域 2 与44 不同色，有 A4种，故用四种颜色时共有 2A4种。44由加法原理可知满足题意的着色方法共有 A3＋2A4=24＋442X24=72 种。根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。例 3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内(图 3)，每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？2134图 3(1) 四格涂不同的颜色，方法数为 A4两个区域不得使同一颜色，现有 4 种不（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为 2C1A2；54（3）两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为A2。因此，所求的涂法种数为 A4+2CiA2+A2=260 种555453.根据相间区域使用颜色的种类分类讨论例 4 如图 4，一个六边形的 6 个区域 A、B、C、D、E、F，现给这 6 个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。解：（1）当相间区域 A、C、E 着同一种颜色时，有 4 种着色方法，此时...
