大学复变函数课件-复变函数第二章复变函数第一节解析函数的概念及 C.-R.方程 1、导数、解析函数定义 2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。假如极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。定义 2.2：假如在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析； 假如在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为或。注解 1、语言，假如任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。注解 2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必定是这个点的连续函数； 反之不一定成立； 注解 3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念； 注解 4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导； 反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。解析函数的四则运算： 和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则： 。复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子： （1）、假如（常数），那么； （2）、，； （3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理： 定理 2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是： 1、实部和虚部在处可微； 2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程） 证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立： 设则由可微性的定义，有： 令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。定理 2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是： 1、实部和虚部在内可微； 2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程） 关于柯西-黎曼条件，有下面的注解： 注解 1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在讨论流体力学时得到的； 注解 2、解析函数的导数形式更简洁： 公式可避开利用定义计算带来的困难。注解 3、利用两个定理，可以推断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解...
