对第二类曲面积分的一种有效计算方法的探讨介绍一种更有效的计算方法。此方法主要是利用第一类曲面积分与第二類曲面积分的关系来实现两种曲面积分之间的转化，从而达到简化计算的目的。设 S 为光滑曲面，α、β、γ 分别为 S 上的指定法线方向与 x 轴，y轴及 z 轴正向的夹角，若 P、Q、R 为 S 上的连续函数，则（*）例：计算，其中，S 是 x2+y2+z2=α2 的外侧。[解]球面外侧法向量，方向余弦为，，，由（*）式得[注]此题可化为二重积分来计算，但不如上法简洁。例：设 f（x，y，z）为连续函数，S 为平面 x-y+z=1 在第四卦限部分的上侧，求[解]被积函数中含有抽象函数，不好直接计算；又为平面 x-y+z=1 在第四卦限部分，其法向量的方向余弦是定值，因此可以考虑利用（*）式进行转化。平面 S 上侧任一点法向量的方向余弦为，，，则通过（*）式，一方面可以把对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分，简化计算，如上面两个例题；另一方面还可以推导出以下很有用的公式。当曲面 S 由方程 z=z（x，y）给出时，有从而 dydz=-zxdxdy，dzdx=-zydxdy，则（S 为上侧取正，下侧取负）这样原来是对三个坐标面的积分，现在就转化为对 xOy 这一个坐标面的积分，计算量大大减少。类似地还可以把转化为仅对 yOz 面或 zOx 面上的积分。在做题时，到底应该转化到哪个坐标面上呢？一要看曲面 S 的方程，看可以写成z=z（x，y）、y=y（x，z）、x=x（y，z）三种形式中的哪一个；二要看 S在哪个坐标面上的投影区域比较简单、规则，因为转化之后，最终是要计算一个二重积分。总之，从第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系出发，对于第二类曲面积分，我们可以把它化为第一类曲面积分计算，也可以化为对一个坐标面的积分，使计算得到简化。而且还可以推广到一般的曲面方程，应用更加广泛。
