射影几何学的对偶原则由于绘图学和建筑学的需要，人们对投影性质产生了兴趣，射影几何就是在实际的科学和艺术的推动下诞生并进展起来的。区别于具有度量特点的欧式几何，射影几何隶属于非欧几何范畴，是讨论图形在射影变换下不变的性质。在射影几何学中，对偶原则占据特别而重要的地位。一、对偶原则对偶原则通常是描述两个体系之间的某种对称性的。假如体系 A 与 B互为对偶，则从其中任意一个体系的规律可推知另一个体系的规律。在射影几何学中，对偶原则是指在射影命题中，处于对偶关系的元素，可以通过相互替换，将命题 A 变为命题 B 从而构成新的命题。特别的，若命题 A 为真（伪），则命题 B 亦为真（伪）。以平面射影几何学为例，点与直线是处于对偶地位的基本元素，直线是自对偶元素。凡是涉及点与直线接合问题的相关命题都是射影命题。根据对偶原理，将原射影命题中的“点”替换为“线”，“共线”替换为“共点”，“点列”改为“线束”，“在……上”改为“经过……”，原射影命题将会变为一个新的命题，且新命题与原命题保持相同的真伪性。下面以历史上著名的 Pascal 定理为例窥探对偶原则的基本思想。Pascal 定理：一个六边形的六个顶点在一条二次曲线上，当且仅当该三对对边的交点在一条线上。Pascal 定理的对偶定理：一个六边形的六条边切一条二次曲线，当且仅当该三对顶点的线交于一点[1]。事实上，Pascal 定理是关于点、直线及它们的接合关系的射影定理，其对偶命题就是历史上的著名的 Brianchon 定理。一般的，适用于二维射影平面上的对偶原则称为平面对偶原则。适用于三维射影空间上的对偶原则，被称为三维空间对偶原则。类推，存在 n 维空间对偶原则。但是，值得注意的是，但在不同维度的空间里，其对偶元素、对偶命题是不尽相同的。二、射影几何中对偶原则产生的理论根源追溯射影几何学中对偶原则的理论根源，首先应深刻理解射影平面上引入的无穷远元素和无穷远直线。在欧式几何中，每组平行线是没有交点的，平行平面也没有交线，这导致了中心映射无法成立。射影几何最中心和最首要的问题是解决图形在中心投影或平行投影变化问题。因此，为了使中心映射在空间中满足双射，在每一条直线上添加一个理想点，在每张平面上添加一条理想直线，从而引入了无穷远元素和无穷远直线的概念。若欧式平面中单纯的引入无穷远元素和无穷远直线，欧式平面则变为仿射平面。在仿射平面中，有穷远元素和无穷远元素是两个截然不...
