浅谈极限的计算方法与技巧

浅谈极限的计算方法与技巧【摘要】极限是高等数学重要的基本概念之一，是贯穿高等数学的一条主线，灵活掌握极限的计算是学好高等数学的基础。极限的计算方法很多，非常灵活，比如极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小的代换、洛必达法则等。【关键词】极限；计算；两个重要极限；等价无穷小；洛必达法则1 引言极限概念是深化讨论函数变化性态的一个最基本概念，极限方法是数学中最重要的一种方法，是微积分学的基础。早在中国古代，极限的朴素和应用就已在文献中有记载。例如，魏晋时代的数学家刘徽在《九章算术》中利用割圆术，用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率。随着微积分学的诞生，极限作为高等数学中的一个概念被明确提出。但最初提出的这一概念是比较模糊的，因此在数学界引起不少争论。直到 19 世纪，由柯西、魏尔斯特拉斯等人才将其置于严密的理论基础之上，从而得到了世界的公认。2 极限的几种计算方法2.1 利用无穷小量的性质和等价无穷小的代换求极限2.1.1 无穷小量有下列重要性质：2.1.1.1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量；2.1.1.2 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；2.1.1.3 常量与无穷小量的乘积为无穷小量；2.1.1.4 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。当时，有下列常见等价无穷小：sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln（1+x）～x，ex-1～x，（为非零常数）。2.1.2 利用等价无穷小代换求极限时应注意以下问题：2.1.2.1 等价无穷小代换只能对分子或分母中的因式进行代换.2.1.2.2 在乘除运算中才可以将无穷小用其简单的等价无穷小去替换.例 1：求极限解：因为当时，x 为无穷小量，且，即为有界变量，由性质（4）得=0.例 2：求极限解：原式=例 3：求极限解：原式2.2 利用极限的四则运算法则求极限定理 1：设，则①；②；③.也就是说，假如两个函数的极限都存在，那么这两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为分母的函数的极限不能为 0）.由上述定理可以得到下面的推论推论：设，① 若 C 为常数，则；② 若 n 为正整数，则.上述法则及推论对于，等情形均成立.例 1：求极限解：原式==8在应用极限的四则运算法则时，通常需要先对函数做某些恒等变换或化简，变换的方法通常有分解因式，分子（母）有理化，通分，比较最高次幂法等。例 2：求极限解：原式=例 3 求极限解：原式==例 4：求極限解：原式===例 ...