第1讲-空间几何体的表面积和体积

第 1 讲 空间几何体的表面积和体积高考定位 简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真 题 感 悟1.(2024·全国Ⅰ卷)已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，⊙O1为△ABC 的外接圆.若⊙O1的面积为 4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球 O 的表面积为( )A.64π B.48π C.36π D.32π解析 如图所示，设球 O 的半径为 R，⊙O1的半径为 r，因为⊙O1的面积为 4π，所以 4π＝πr2，解得 r＝2，又 AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得 AB＝2，故OO1＝2，所以 R2＝OO＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球 O 的表面积 S＝4πR2＝64π.故选 A.答案 A2.(2024·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为 r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB 中，PA＝PB＝3，D 为 AB 的中点，AB＝2，E 为切点，则 PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得 r＝，故内切球的体积为 π＝π.答案 π3.(2024·新高考山东卷)已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的棱长均为 2，∠BAD＝60°.以 D1为球心，为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为__________.解析 如图，设 B1C1的中点为 E，球面与棱 BB1，CC1的交点分别为 P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD 为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1 为等边三角形，则 D1E＝且 D1E⊥平面BCC1B1，∴E 为球面截侧面 BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为 r，则r＝＝＝.可得 EP＝EQ＝，∴球面与侧面 BCC1B1的交线为以 E 为圆心的圆弧 PQ.又 D1P＝，∴B1P＝＝1，同理 C1Q＝1，∴P，Q 分别为 BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝，知PQ的长为×＝.答案 4.(2024·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.解析 依题意知，题中的半正多面体的...