第41讲--数列的综合

an2n=,{{a⼀般已测：381 次正确率：88.7 %1. 设数列{an}(n = 1, 2, 3, …)的前 n 项和 Sn 满⾜Sn = 2an − a1,且 a1, a2+1, a3 成等差数列.(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 设数列{ 1 }的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .考点：已知 Sn 与 an 间的关系求 an、构造等⽐数列求数列的通项知识点：等⽐数列的前 n 项和公式及推导、已知 Sn 求 an(1) 答案：an = 2n解析：由已知 Sn = 2an − a1 ,有an = Sn − Sn−1 = 2an −2an− 1(n≥2), 即 an = 2an− 1(n≥2).从⽽a2 = 2a1, a3 = 2a2 = 4a1 .⼜因为 a1, a2+1, a3 成等差数列,即 a1+a3 = 2(a2+1),所以 a1+4a1 = 2(2a1+1),解得 a1 = 2.所以,数列{an }是⾸项为 2,公⽐为 2 的等⽐数列.故 an = 2n .(2) 答案：1− 1解析：由(1)得 11n11 n所以 Tn = 1 + 1 + … + 1= 2 [1−(12 ) ] = 1− 1 . 2222n1− 22n⼀般已测：3761 次正确率：67.3 %2. 等差数列{an}中,a2 = 4, a4+a7 = 15.(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 设 bn = 2an −2+n,求 b1+b2+b3+ ⋯ +b10的值.考点：求等差数列的通项公式、分组求和知识点：等差数列的通项公式、等⽐数列的前 n 项和公式及推导(1) 答案：an = n+2解析：设等差数列{an }的公差为d.由已知得a1 + d = 4,(a1 + 3d) + (a1 + 6d) = 15,解得 a1 = 3,d = 1.所以 an = a1+(n−1)d = n+2.(2) 答案：2101解析：由(1)可得 bn = 2n + n,所以 b1+b2+b3+ ⋯ +b10 = (2+1)+(22+2)+(23+3)+ ⋯ +(210 +10)= (2+22+23+ ⋯ +210 )+(1+2+3+ ⋯ +10)= 2×(1−210 ) + (1+10)×10 = 211 +53 = 2101.1−22中等已测：2077 次正确率：64.5 %3. 设{an}是⾸项为 1，公差为 2 的等差数列，{bn}是⾸项为 1，公⽐为 q 的等⽐数列．记cn = an + bn，n = 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅．{}n1−2n(1) 若{cn}是等差数列，求 q 的值．(2) 求数列{cn}的前项 n 和 Sn．考点：求等差数列的通项公式、等差数列的计算问题知识点：等差数列的通项公式、等差数列的前 n 项和公式(1) 答案：q = 1．解析：因为{an }是⾸项为 1，公差为 2 的等差数列， 所以 an = 2n − 1．因为{bn }是⾸项为 1，公⽐为 q 的等⽐数列，所以 bn = qn−1 ．所以 cn = an + bn = 2n − 1 + qn−1 ，...