考点 21 求和方法（第一课时）【题组一 裂项相消】1．在数列中，有
（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）记，求数列的前 n 项和
【答案】(1)证明见解析，，(2)【解析】（1）因为，所以当时，，上述两式相减并整理，得
又因为时，，适合上式，所以
从而得到，所以，所以数列为等差数列，且其通项公式为
（2）由（1）可知，
2．已知数列的前项和满足
(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和
【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，得
当时，，两式相减得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则；（2）因为，所以，所以
3．记数列的前项和为．若
（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）=
【解析】（1）由已知，得，……①当时，，……② ①—②，得，即，整理，得， 又由，得，所以是以 3 为首项，3 为公比的等比数列
（2）由（1）得，所以， 所以， 故=
4．正项数列的前项和满足；（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有；【解析】由,解得或, 数列都是正项,,,,解得或,因为数列都是正项,,当时,有,解得,当时,,符合,所以数列的通项公式
(2),所有5．已知数列中，，，其前项和为，且当时，（1）求数列的通项公式；（3）设，记数列的前项和为，求
【答案】(1) (2) 【解析】（1）由故又且所以数列是一个以 1 为首项，4 为公比的等比数列所以……①,……②由①-② 且不满足上式所以（2），，时而也满足上式，所以6．设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ，
(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)若 ，求数列的前 n 项和，并求证：
【答案】（1），；（2）详见解析
【解析】（1）当时，，当时，，当时，也满足，∴， 等比数列，∴，∴，又 ，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴
