考点 27 空间向量求空间距离【题组一 两点距】1．已知点，，则的最小值为（ ）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以当所以当时有最小值，故选：C.2．在空间直角坐标系中，设，若，则实数 a 的值是（ ）A．3 或 5B．或C．3 或D．或 5【答案】A【解析】由空间中两点的距离公式，可得，解得或.故选：A．3．设点 M 是棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 AD 的中点，点 P 在面 BCC1B1所在的平面内，若平面 D1PM分别与平面 ABCD 和平面 BCC1B1所成的锐二面角相等，则点 P 到点 C1的最短距离是（ ）A．B．C．1D．【答案】A【解析】如图，过点作的平行线交于点、交于点，连接，则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线．与平行，交于点，过点作垂直于点，则有，与平面垂直，所以，与垂直，即角是平面与平面的夹角的平面角，且，与平行交于点，过点作垂直于点，同上有：，且有，又因为，故，而，故，而四边形一定是平行四边形，故它还是菱形，即点一定是的中点，点到点的最短距离是点到直线的距离，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，， ，， ，点到点的最短距离：．故选：．【题组二 点线距】1．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是 A1B1的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.故点 A 到直线 BE 的距离 d＝||sinθ＝2×.故答案为 B【题组三 点面距】1．如图，在直三棱柱中，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，且，求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：在直三棱柱中，，，为的中点.所以,因为，所以平面；（2）因为，，所以，由（1）可知，所以，即，可得，所以.以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，解得，由点到平面距离的向量求法可得.2．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,为的中点,,平面平面.(1)求证:平面平面;(2)记点到平面的距离为,点到平面的距离为,求的值.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）因为三角形为等边三角形，，所以.因为底面为直角梯形，，，为的的中点，，所以四边形是正方形，所以，因为，所以平面.因为，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）由（1）知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，.，.设平面的法向量为，...
