河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 3.2 均值不等式学案新人教B版必修5

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§3.2 均值不等式1．一个常用的均值不等式链设 a>0，b>0，则有：min{a，b}≤≤ ≤≤ ≤max{a，b}，当且仅当 a＝b 时，所有等号成立．若 a>b>0，则有：b<<<< 0，则＋≥2.3．利用均值不等式求最值的法则均值不等式≤ (a，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值．(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 ab≤2，当且仅当 a＝b 时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即 a＋b≥2，当且仅当 a＝b 时，等号成立．注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数 f(x)＝x＋ (k>0)的单调性在求最值中的应用有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)＝x＋ (k>0)的单调性加以解决．利用函数单调性的定义可以证明函数 f(x)＝x＋ (k>0)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．因为函数 f(x)＝x＋ (k>0)是奇函数，所以 f(x)＝x＋ (k>0)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数．函数 f(x)＝x＋ (k>0)在定义域上的单调性如右图所示．例如：求函数 f(x)＝sin2x＋，x∈(0，π)的最小值．解令 t＝sin2x，x∈(0，π)，g(t)＝t＋.t∈(0,1]，易知 g(t)在(0,1]上为单调递减函数，所以当 t＝1 时，g(t)min＝6.即 sin x＝1，x＝时，f(x)min＝6.一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察．例 1 求函数 y＝的最大值．解设 t＝，从而 x＝t2－2(t≥0)，则 y＝.当 t＝0 时，y＝0；当 t>0 时，y＝≤＝.当且仅当 2t＝，即 t＝时等号成立．即当 x＝－时，ymax＝.二、利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a>f(x)恒成立⇔a>[f(x)]max，a

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