43.空间向量及其运算一、自主梳理1．空间向量的概念名称定义空间向量在空间中，具有 和 的量叫做空间向量，其大小叫做向量的 或单位向量长度或模为 的向量零向量 的向量相等向量方向 且模 的向量相反向量 相反且 相等的向量共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，则称这些向量叫做共线向量或 a 平行于 b 记作 共面向量能平移于同一 的向量叫做共面向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 .(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得 .(3)空间向量基本定理：如果三个向量 e，e ，e 不共面， 那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组{x，y，z}，使得 .其中，{e，e ，e }叫做空间 的一个 ．3．线性运算的运算律(1)加法交换律：a＋b＝ ；(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝ ；(3)数乘向量分配律：λ(a＋b)＝ ；(4)向量对实数加法的分配律：a(λ＋μ)＝ .(5)数乘向量的结合律：λ(μa)＝ 4．空间向量的数量积及运算律：（1）夹角及夹角范围（2）数量积（3）运算律5．空间向量的坐标运算（1）共线 （2）垂直（3）数量积 （4）模、夹角及距离公式二、例题：1.在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) ＋.2．已知向量 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，λ>0，求 λ 的值3. 已 知 E 、 F 、 G 、 H 分 别 是 空 间 四 边 形 ABCD 的 边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 边 的 中 点 ， 求 证（1）E、F、G、H 四点共面（2）求证 BD∥面 EFGH（3）设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任意一点 O,有三、点击高考 1、设 A，B，C，D 是空间不共面的四个点，且满足AB·AC＝0，AD·AC＝0，AD·AB＝0，则△BCD 的形状是( )A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定2、(2010·广东高考改编)若向量 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，求 x 的值.总结：1．用已知向量表示未知向量的方法(1)用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向...
