万有引力定律的拓展应用一、考点突破知识点考纲要求题型分值万有引力万有引力定律的拓展，并会证明会利用割补法的思想计算空腔中的万有引力问题选择题6 分二、重难点提示重点：会用割补法转换研究对象解决疑难问题。难点：匀质球层对球内任意位置的物体的引力为 0。应用万有引力定律求物体间的引力时，因注意其适用条件，只有当两物体可视为质点时，才能认为 R 为两物体间的距离。对于球壳类则不能视为质点，则必须采取其他的解决办法。这里我们给出结论：一质点在均匀球壳空腔内任意一点受到球壳的万有引力为零。如图所示，一个匀质球层可以等效为由许多厚度足够小的匀质球壳组成，任取一个球壳，设球壳内有一个质量为 m 的质点，某时刻质点在 P 位置（任意位置）处，以质点（m）所在位置 P 为顶点，作两个底面面积足够小的对顶圆锥，这时，两个圆锥底面不仅可以视为平面，还可以视为质点。 设空腔内质点 m 到两圆锥底面中心的距离分别为，两圆锥底面的半径为，底面面密度为。根据万有引力定律，两圆锥点面对质点的引力可以表示为：，，根据相似三角形对应边成比例，有，则两个万有引力之比，因为两万有引力方向相反，所以引力的合力。依此类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零，整个球壳对质点的合力为零，故由多个球壳组成的球层对质点的合引力为零，即例题 1 证明：在匀质实心球体内部距离球心 r 处，质点受到该球体的万有引力就等于半径为 r 的球体对其的引力，即，其中表示同样材质、半径为 r 的匀质球体的质量。P m思路分析：如图所示，设匀质球体的质量为 M，半径为 R；其内部半径为 r 的匀质球体的质量为，与球心相距 r 处的质点 m 受到的万有引力，可以视为厚度为（R－r）的匀质球层和半径为 r 的匀质球体的引力的合力，根据匀质球层对质点的引力为零，所以质点受到的万有引力就等于半径为 r 的匀质球体的引力，即。若已知匀质球体的总质量为 M，则，，故当 r=0 时，有，；当 r=R 时，有。答案：见思路分析。点拨：本题得到的结论为万有引力定律拓展的推论，可作为结论使用。例题 2 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）A. B. C. D. 思路分析：令地球的密度为 ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有由于地球的质量为：M=ρ•，所以重力加...
