圆锥曲线题型归纳题型一弦的垂直平分线问题例1.过点T(-1,0)作直线与曲线N：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，，，。由消y整理，得①由直线和抛物线交于两点，得，即②由韦达定理，得：。则线段AB的中点为，线段的垂直平分线方程为：，令y=0，得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。，解得，满足②式，此时。【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。例2.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．题型二动弦过定点的问题例3.已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论.解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为.（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。题型三过已知曲线上定点的弦的问题例4.已知点A、B、C是椭圆E：上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。解：(I)，且BC过椭圆的中心O.又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II)直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：，是方程的一个根，，即，同理可得：＝＝＝，则直线PQ的斜率为定值。题型四共线向量问题例5.如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|，又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.∴曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设，又当直线GH斜率不存在，方程为例6.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若，，求证：.解：（1）设椭圆C的方程为（＞＞），抛物线方程化为，其焦点为，则椭圆C的一个顶点为，即，由，∴，椭圆C的方程为.（2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入方程并整理，得∴，又，，，，而，，即，∴，，所以例7.已知△OFQ的面积S=2,且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，，当取得最小值时，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为，Q（x0,y0），，S△OFQ=，∴。=c(x0－c)=。当且仅当，所以。类型1——求待定字母的值例8.设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值。思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)， PA=∴x1=.联立消去y并整理得，(1－a2)x2+2a2x－2a2=0(*) A、B是不同的两点，∴∴0
