教学教案设计 多元复合函数的求导法则VIP免费

§8.4多元复合函数的求导法则课题：§8.4多元复合函数的求导法则教学目的：通过学习，使学生掌握多元复合函数的求导法则教学重点：多元复合函数的求导法则应用教学难点：抽象函数高阶偏导数的计算教学过程：现在将一元复合函数的求导法则推广至多元复合函数的求导法则。1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[j(t),y(t)]在点t可导,且有.简要证明1:因为z=f(u,v)具有连续的偏导数,所以它是可微的,即有.又因为u=j(t)及v=y(t)都可导,因而可微,即有,,代入上式得,从而.简要证明2:当t取得增量Dt时,u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz.由z=f(u,v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性,有,,令Dt®0,上式两边取极限,即得.注:.推广:设z=f(u,v,w),u=j(t),v=y(t),w=w(t),则z=f[j(t),y(t),w(t)]对t的导数为:.上述称为全导数.2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2如果函数u=j(x,y),v=y(x,y)都在点(x,y)具有对x及y的偏导数函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数则复合函数z=f[j(x,y),y(x,y)]在点(x,y)的两个偏导数存在且有,.推广:设z=f(u,v,w),u=j(x,y),v=y(x,y),w=w(x,y),则,.讨论(1)设z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(y),则？？提示(2)设z=f(u,x,y),且u=j(x,y),则？？提示,.这里与是不同的是把复合函数z=f[j(x,y),x,y]中的y看作不变而对x的偏导数是把f(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数与也朋类似的区别3．复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形定理3如果函数u=j(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数函数v=y(y)在点y可导函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数则复合函数z=f[j(x,y),y(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在且有,.例1设z=eusinv,u=xy,v=x+y,求和.解=eusinvy+eucosv1=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)],=eusinvx+eucosv=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)].例2设,而.求和.解..例3设z=uv+sint,而u=et,v=cost.求全导数.解=vet+u(-sint)+cost=etcost-etsint+cost=et(cost-sint)+cost.例4设w=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导数,求及.解令u=x+y+z,v=xyz,则w=f(u,v).引入记号:,;同理有,,等.,.全微分形式不变性:设z=f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分.如果z=f(u,v)具有连续偏导数,而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有连续偏导数,则.由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.例5设z=eusinv,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不变性求全微分.解=eusinvdu+eucosvdv=eusinv(ydx+xdy)+eucosv(dx+dy)=(yeusinv+eucosv)dx+(xeusinv+eucosv)dy=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]dy.