第二节 质点在平面内的运动文本资料--------- 关于小船渡河的四个问题一. 垂直渡河要使小船垂直渡河，小船在静水中的航行速度必须大于水流速度，且船头应指向河流的上游，使船的合速度 v 与河岸垂直，如图 1 所示。设船头指向与河岸上游之间的夹角为，河宽为 d，则有，即垂直渡河时间二. 以最短时间渡河当小船在静水中的航速大小确定时，由知，当时，t 最小，即当船头指向与河岸垂直时，小船有最短渡河时间。可见最短渡河时间与水流速度无关。例 1. 如图 2，一只小船从河岸 A 点出发，船头垂直于河岸行驶，经 10min 到达正对岸下游 120m 的 C 点。若小船速度不变，保持船身轴线与河岸成角行驶，经过 12.5min 到达正对岸B 点，则此河的宽度 d 为多少？分析：设小船在静水中的速度为，水流速度为，船以最短时间到达 C 点，有船垂直到达 B 点，有由以上各式得三. 以最小位移渡河（1）当船在静水中的速度大于水流速度时，小船可以垂直渡河，显然渡河的最小位移 s等于河宽 d。（2）当船在静水中的速度小于水流速度时，不论船头指向如何，船总要被水冲向下游。设小船指向与河岸上游之间的夹角为时，渡河位移最小。此时，船头指向与合速度方向成角，合速度方向与水流方向成角，如图 3。由正弦定理得所以由图 3 可知， 角越大渡河位移越小，以的顶点为圆心，以的大小为半径作圆，很明显，只有当时， 最大，渡河位移最小。即当船头指向和实际运动方向垂直时，渡河位移最小，为。四. 以最小速度渡河例 2. 如图 4，一小船从河岸 A 处出发渡河，河宽，河水流速，在出发点下游的 B 处有瀑布，A、B 两处距离为，为使小船靠岸时不至被冲进瀑布，船对水的最小速度是多少？解法 1：以的顶点为圆心，以的大小为半径作圆，由图可知，小船以最小速度安全到达对岸时，小船航线恰在 AC 连线上，且船的最小速度与 AC 垂直，如图 5 所示。设 AC 与 AB 间的夹角为由几何关系可得将已知数值代入解得解法 2：设小船的最小速度为，船头指向与河岸上游间的夹角为，经 t 时间小船恰好安全渡河。由题意得得其中，的最大值为所以小船的最小速度
