§1.4 全称量词与存在量词知识点一 全称命题与特称命题的判断 判断下列语句是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于 360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．分析 先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．解 (1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于 360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．知识点二 判断全称或特称命题的真假 试判断以下命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)∃x∈Z，x3<1；(4)∃x∈Q，x2＝3.分析 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合 M 中的一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，至少能找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．解 (1)由于∀x∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋2≥2>0，即 x2＋2>0.所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于 0∈N，当 x＝0 时，x4≥1 不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于－1∈Z，当 x＝－1 时，能使 x3<1.所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(4)由于使 x2＝3 成立的数只有±，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于 3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．知识点三 全称或特称命题的否定 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.解 (1)綈 p：∃x∈R，x2－x＋<0.(假)这是由于∀x∈R，x2－x＋＝2≥0 恒成立．1(2)綈 q：至少存在一个正方形不是矩形．(假)(3)綈 r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(真)这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0 成立．(4)綈 s：∀x∈R，x3＋1≠0.(假)这是由于 x＝－1 时，x3＋1＝0.考题赏析 1．(海南，宁夏高考)已知命题 p：∀x∈R，sinx≤1，则( )A．綈 p：∃x∈R，sinx≥1B．綈 p：∀x∈R，sinx≥1C...
