§3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法知识点一 求平面的法向量 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面 α 的一个法向量．解 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，＝(1，－2，－4)，AC＝(1，－2，－4)，设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)．依题意，应有 n·= 0， n·AC = 0.即，解得.令 y＝1，则 x＝2.∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，DC 的中点，求证：是平面 A1D1F 的法向量.证明 设正方体的棱长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则是平面 A1D1F 的法向量．证明 设正方体的棱长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，＝. .D1＝(0,0,1)，F，A1(1,0,1)．＝，A1D1＝(－1,0,0)． ·＝·＝－＝0，·A1D1＝0，∴⊥A1D1.又 A1D1∩D1F＝D1，用心 爱心 专心1∴AE⊥平面 A1D1F，∴ 是平面 A1D1F 的法向量．知识点二 利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，O 是 B1D1的中点，求证：B1C∥平面 ODC1.证明 方法一 =，∴ B ∴B1C∥A1D，又 A1D面 ODC1，∴B1C∥面 ODC1.方法二 = += + + + = +.∴，，共面.又 B1C 面 ODC1，∴B1C∥面 ODC1.方法三 建系如图，设正方体的棱长为 1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O，C1(0,1,1)，＝(－1,0，－1)，＝，＝.设平面 ODC1的法向量为 n＝(x0，y0，z0)，则 得令 x0＝1，得 y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．又 ·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，用心 爱心 专心2∴⊥n，∴B1C∥平面 ODC1.【反思感悟】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面 ODC1内找一向量与共线；二是说明能利用平面 ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直． 如图所示，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.求证：AE∥平面 DCF.证明 如图所示，以点 C 为坐标原点，以 CB、CF 和 CD 所在直线分别作为 x 轴、y 轴和 z轴，建立空间直角坐标系 C—xyz.设 AB＝a，BE＝b，CF＝c，则 C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，F(0，c,...
