2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法知识点一 求平面的法向量 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面 α 的一个法向量．解 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，＝(1，－2，－4)，AC＝(1，－2，－4)，设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)．依题意，应有 n·= 0， n·AC = 0
令 y＝1，则 x＝2
∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，DC 的中点，求证：是平面 A1D1F 的法向量
证明 设正方体的棱长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则是平面 A1D1F 的法向量．证明 设正方体的棱长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，＝
D1＝(0,0,1)，F，A1(1,0,1)．＝，A1D1＝(－1,0,0)． ·＝·＝－＝0，·A1D1＝0，∴⊥A1D1
又 A1D1∩D1F＝D1，用心 爱心 专心1∴AE⊥平面 A1D1F，∴ 是平面 A1D1F 的法向量．知识点二 利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，O 是 B1D1的中点，求证：B1C∥平面 ODC1
证明 方法一 =，∴ B ∴B1C∥A1D，又 A1D面 ODC1，∴B1C∥面 ODC1
方法二 = += + + + = +
∴，，共面
又 B1C 面 ODC1，∴B1C∥面 ODC1
方法三 建系如图，设正方体的棱长为 1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O，C1(
