2023年陈省身全国高中数学夏令营题目(共2页,第1页)2第一天1.设数列x1,xxx3,n1,2,.试求正整数m使得1x1.12n1nnm12023m2.已知O为定圆,A,B,C为O上的三个动点,使得ABC为锐角三角形,且ABAC,AD为ABC的一条高线,I为ABC的内心,过点I作ADI的外接圆的切线,与直线AD交于点P.设AA为的直径,过点A作直线AA的垂线与直线AB交于点E,过点P作直线AP的垂线与直线AB交于点H,过点E作直线AH的垂线与直线AB交于点F.证明:(1)AP为定长;(2)AP平分线段EF.3.给定点集M{(x,y)|x,y[1,2023]},如果线段AB的两个端点都在M中,|AB|,且直线AB的斜率不为3,则称AB为“好线段”.证明:对于M中任意不同两点P、Q,存在正整数n和M中的一列点A0,A1,,An1,使得A0P,An1Q,且AiAi1都是“好线段”(0in).4.若集合X{1,2,,n}满足:在X的任意五元子集A中都可以找到两个元素a,b(ab)使得ab.记X的最大可能值为f(n)(这里X表示集合X中的元素个数),求f(2023)f(3000)f(10000).O136102iKD2222023年陈省身全国高中数学夏令营题目(共2页,第2页)第二天1.已知锐角三角形ABC满足ABAC,M为边BC的中点,ABC的内心为I,A内的旁切圆I1与边BC切于点D,DD1为I1的直径,直线AM与DD1交于点K,若ABC,BCA,试证明:(1)MIADtantan;MI1AD122(2)I1K1cotcot1.2.已知多项式f(x)x7ax6axa有7个互不相同的实根,求系数a0,a1,中的零的个数的最大可能值.3.已知集合{1,2,,n}的子集A1,A2,,Am满足Airin,且当ij时,有AiAj,AiAj.试m1证明:Cr11.i1n14.设m2为正整数,用白色或黑色将1,2,,m染色.对于任意的正整数i,j(这里1ijm),若{xNixj}中被染为黑色的个数为奇数,则称数对(i,j)是“好的”.求“好的”数对个数的最大可能值f(m).,a62023年陈省身全国高中数学夏令营参考答案(共9页,第1页)xxnx22第一天参考答案1.设数列x1,xxx3,n1,2,,试求正整数m使得1x1.12n1nnm12023m解:我们考虑1的变化趋势.记xx,yx,这样2nn1n11112x2x42x2232x22x,y2x2x2(1x2)2x2x2(1x2)2(1x2)2(1x2)2注意到数列{x}的每项均为正数,并且递减,所以xx1,故43x20,14x20,从而nn232x23x2(43x2)3,32x252(14x2)5x45,这表明332x2(1x2)25,也就有(1x2)2(1x2)2(1x2)2(1x2)221n1125x2.n我们有14,利用上式并结合1(11)(11)(11)+1,就可以得12n2,x2x2x2x2x2x2x2x2x2x21nnn1n1n2211n即x211;对于另一边有112(n1)5(x2x2x2)2n25(111).具n2n22(n1)2212n1n1223n体的对n2023,由于1111++++2141++1024110,2342023241024所以63239694048140485104096642,从而63x164,即1x1,故所求的m63.220232023642023632.已知O为定圆,A,B,C为O上的三个动点,使得ABC为锐角三角形,且ABAC,AD为ABC的一条高线,I为ABC的内心,过点I作ADI的外接圆的切线,与直线AD交于点P.设AA为的直径,过点A作直线AA的垂线与直线AB交于点E,过点P作直线AP的垂线与直线AB交于点H,过点E作直线AH的垂线与直线AB交于点F.证明:(1)AP为定长;(2)AP平分线段EF.Oxxx22023年陈省身全国高中数学夏令营参考答案(共9页,第2页)证明:(1)设O的半径为R,BAC,ABC,BCA,P为射线AD上一点,使得AP2R,则APAA,于是AAP为等腰三角形.A0A1(3,2),A1A2(2,3),A2A3(3,2),A3A4(2,3),A4A5(3,2),222222222NENE22023年陈省身全国高中数学夏令营参考答案(共9页,第3页)因为BADCAA90,所以AI平分AAP.设AI与AP交于点M,则M是线段AP的中点.由于AMA90,则点M在O上,且为的弧BC的中点.由鸡爪定理,有MIMB.因为AAMCAICAA90,所...