2023陈省身全国高中数学夏令营题目及解答VIP专享VIP免费

2023年陈省身全国高中数学夏令营题目（共2页，第1页）2第一天1.设数列x1，xxx3，n1,2,．试求正整数m使得1x1．12n1nnm12023m2.已知O为定圆，A,B,C为O上的三个动点，使得ABC为锐角三角形，且ABAC，AD为ABC的一条高线，I为ABC的内心，过点I作ADI的外接圆的切线，与直线AD交于点P．设AA为的直径，过点A作直线AA的垂线与直线AB交于点E，过点P作直线AP的垂线与直线AB交于点H，过点E作直线AH的垂线与直线AB交于点F．证明：（1）AP为定长；（2）AP平分线段EF．3.给定点集M{(x,y)|x,y[1,2023]}，如果线段AB的两个端点都在M中，|AB|，且直线AB的斜率不为3，则称AB为“好线段”．证明:对于M中任意不同两点P、Q，存在正整数n和M中的一列点A0,A1,,An1，使得A0P,An1Q，且AiAi1都是“好线段”(0in)．4.若集合X{1,2,,n}满足：在X的任意五元子集A中都可以找到两个元素a,b(ab)使得ab．记X的最大可能值为f(n)（这里X表示集合X中的元素个数），求f(2023)f(3000)f(10000)．O136102iKD2222023年陈省身全国高中数学夏令营题目（共2页，第2页）第二天1.已知锐角三角形ABC满足ABAC，M为边BC的中点，ABC的内心为I，A内的旁切圆I1与边BC切于点D，DD1为I1的直径，直线AM与DD1交于点K，若ABC,BCA，试证明：（1）MIADtantan；MI1AD122（2）I1K1cotcot1．2.已知多项式f(x)x7ax6axa有7个互不相同的实根，求系数a0,a1,中的零的个数的最大可能值．3.已知集合{1,2,,n}的子集A1,A2,,Am满足Airin，且当ij时，有AiAj，AiAj．试m1证明：Cr11．i1n14.设m2为正整数，用白色或黑色将1,2,,m染色．对于任意的正整数i,j（这里1ijm），若{xNixj}中被染为黑色的个数为奇数，则称数对(i,j)是“好的”．求“好的”数对个数的最大可能值f(m)．,a62023年陈省身全国高中数学夏令营参考答案（共9页，第1页）xxnx22第一天参考答案1.设数列x1，xxx3，n1,2,，试求正整数m使得1x1．12n1nnm12023m解：我们考虑1的变化趋势．记xx，yx，这样2nn1n11112x2x42x2232x22x，y2x2x2(1x2)2x2x2(1x2)2(1x2)2(1x2)2注意到数列{x}的每项均为正数，并且递减，所以xx1，故43x20，14x20，从而nn232x23x2(43x2)3，32x252(14x2)5x45，这表明332x2(1x2)25，也就有(1x2)2(1x2)2(1x2)2(1x2)221n1125x2．n我们有14，利用上式并结合1(11)(11)(11)+1，就可以得12n2，x2x2x2x2x2x2x2x2x2x21nnn1n1n2211n即x211；对于另一边有112(n1)5(x2x2x2)2n25(111)．具n2n22(n1)2212n1n1223n体的对n2023，由于1111++++2141++1024110，2342023241024所以63239694048140485104096642，从而63x164，即1x1，故所求的m63．220232023642023632.已知O为定圆，A,B,C为O上的三个动点，使得ABC为锐角三角形，且ABAC，AD为ABC的一条高线，I为ABC的内心，过点I作ADI的外接圆的切线，与直线AD交于点P．设AA为的直径，过点A作直线AA的垂线与直线AB交于点E，过点P作直线AP的垂线与直线AB交于点H，过点E作直线AH的垂线与直线AB交于点F．证明：（1）AP为定长；（2）AP平分线段EF．Oxxx22023年陈省身全国高中数学夏令营参考答案（共9页，第2页）证明：（1）设O的半径为R，BAC,ABC,BCA，P为射线AD上一点，使得AP2R，则APAA，于是AAP为等腰三角形．A0A1(3,2),A1A2(2,3),A2A3(3,2),A3A4(2,3),A4A5(3,2),222222222NENE22023年陈省身全国高中数学夏令营参考答案（共9页，第3页）因为BADCAA90，所以AI平分AAP．设AI与AP交于点M，则M是线段AP的中点．由于AMA90，则点M在O上，且为的弧BC的中点．由鸡爪定理，有MIMB．因为AAMCAICAA90，所...