第 30 课时 高三综合练习九 一、基础练习1、当太阳斜照或直照时，放在水平地面上的长方体箱子在地面上影子的形状是_____2、正方体 ABCD-A1B1C1D1中，以顶点 A，C，B1，D1为顶点的正四面体的全面积为 4，则正方体的棱长为________3、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84π，则圆台较小底面的半径为__________4、在一个水平放置的底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升 R，则 R=______5、四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a，则该四面体的体积的最大值是______6、将 6 根等长的细木棒焊成正四面体型的框架，铁棒的焊接和粗细误差不计，设此框架容得下的最大球体的半径为 R1，能包容下此正四面体的最小球体的半径为R2，则为_________7、如图，棱长为 1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1，O2，O3，它们分别是所在面的中心。如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是______m3。8、已知三棱锥 O-ABC 中，OA，OB，OC 两两互相垂直，OC=1，OA=x，OB=y，若 x+y=4，则三棱锥 O-ABC 体积的最大值是_________9、如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，将该正方体沿对角面 BB1D1D 切成两块，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最大的是一个几何体的全面积为___________10、若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3，4，5，从长方体的一条对角线的一个端点出发，沿表面运动到另一个端点，其最短路程是__________二、解答题1、已知一四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱 PC 上的动点。（1）求四棱锥 P-ABCD 的体积；（2）是否不论点 E 在何位置，都有 BD⊥AE？证明你的结论。2、如图，AB 是圆柱下底面圆 O2的直径，PA 是圆柱的一条母线，C 是圆柱下底面圆 O2圆周上一点。（1）求证：BC⊥平面 PAC；（2）若 C 恰为 的中点，按图中所给尺寸，计算三棱锥 B-PAC 的体积。3 、 如 图 ， 在 组 合 体 中 ， ABCD-A1B1C1D1 是 一 个 长 方 体 ， P-ABCD 是 一 个 四 棱 锥 ，AB=2，BC=3，点 P∈平面 CC1D1D 且 PD=PC=。（1）证明：PD⊥平面 PBC；（2）求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值；（3）若 AA1=a，当 a 为何值时，PC//平面 AB1D？
