2011届高三数学复习专题 线性规划 新人教A版

2011 高 考 数 学 复 习 知 识 — — 线 性 规 划知 识 清 单 ：（ 1 ） 平 面 区 域一 般 地 ， 二 元 一 次 不 等 式0AxByC在 平面直角坐标系中表示0AxByC某一侧所有点 组 成 的 平 面 区 域 。 我 们 把 直 线 画 成 虚 线以 表 示 区 域 不 包 括 边 界 直 线 。 当 我 们 在 坐标系中画不等式0AxByC所表示的平面区域 时 ， 此 区 域 应 包 括 边 界 直 线 ， 则 把 直 线画 成 实 线 。说 明 ： 由 于 直 线0AxByC同 侧 的 所 有 点 的坐 标( , )x y 代 入AxByC， 得 到 实 数 符 号 都 相 同 ，所以只需在直线某一侧取一个特殊点00(,)xy，从00AxByC的正负即可判断0AxByC表示直线哪 一 侧 的 平 面 区 域 。 特 别 地 ， 当0C  时 ， 通 常把 原 点 作 为 此 特 殊 点 。（ 2 ） 有 关 概 念引例：设2zxy，式中变量,x y 满足条件4335251xyxyx ，求z 的 最 大 值 和 最 小 值 。由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个 平 面 区 域 ， 不 等 式 组 则 表 示 这 些 平 面 区域 的 公 共 区 域 。 由 图 知 ， 原 点(0,0) 不 在 公 共区域内，当0,0xy时，20zxy，即点(0,0)在 直 线0l ：20xy 上 ， 作 一 组 平 行 于0l 的 直 线1OyxACB43 0xy 1x 3525 0xyl ：2xyt ，tR， 可 知 ： 当l 在0l 的 右 上 方 时 ，直线l 上的点( , )x y 满足20xy，即0t ，而且，直 线l 往 右 平 移 时 ，t 随 之 增 大 。由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A时，对 应 的t 最 大 ，当 直 线l 经 过 点(1,1)B时 ， 对 应 的t 最 小 ，所 以 ，max2 5212z  ，min2 1 13z    。在 上 述 引 例 中 ， 不 等 式 组 是 一 组 对 变 量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y的 一 次 不 等 式 ， 所 以 又 称 为 线 性 约 束 条 件。2zxy是 要 求 最 大 值 或 最 小 值 所 涉 及 的 变 量,x y 的 解 析 式 ， 叫 目 标 函 数 。 又 由 于2zxy是,x y 的 一 次 解 析 式 ， 所 以 又 叫 线 性 目 标 函 数 。一 般 地 ， 求 线 性 目 标 函 数 在 线 性 约 束 条件 下 的 最 大 值 或 最 小 值 的 问 题 ， 统 称 为 线性 规 划 问 题 。 满 足 线 性 约 束 条 件 的 解( , )x y 叫做 可 行 解 ， 由 所 有 可 行 解 组 成 的 集 合 叫 做可 行 域 。 在 上 述 问 题 中 ， 可 行 域 就 是 阴 影部 分 表 示 的 三 角 形 区 域 。 其 中 可 行 解(5,2) 和(1,1)分 别 使 目 标 函 数 取 得 最 大 值 和 最 小 值 ，它 们 都 叫 做 这 个 问 题 的 最 优 解 。2