位置关系的向量解法【教学目标】一、课程标准要求1．理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．二、考纲要求 空间向量的共线与垂直、直线的方向向量与平面的法向量均为 B 级要求．【知识梳理】1.直线的方向向量及其应用（1）直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量 平行 （或共线）的向量，有 无数 个．（2）利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面：①若有直线，点是直线 上一点，向量是 的方向向量，在直线 上取，则对于直线 上任意一点，一定存在实数 使得 ，这样，点和向量不仅可以确定 的位置，还可具体表示出上的任意点．②空间中平面的位置可以由上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点，它们的方向向量分别是，为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，使得= ，这样，点与方向向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出上的任意点．2.平面的法向量就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有 无数 个，它们是 共线 向量．3.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、平面位置关系中的应用：（1）直线的方向向量，直线的方向向量为：如果∥，那么∥ ．如果，那么 ．（2）直线 的方向向量为，平面的法向量为．如果 ∥，那么 ．如果，那么∥ ．（3）平面的法向量为，平面的法向量为．如果∥，那么∥ ．如果，那么 ．【基础自测】1.设平面的法向量为（1，2，-2），平面的法向量为（-2，-4，k），若∥，则 k= .答案 42.已知直线 l 的方向向量为 v，平面的法向量为 u,则 v·u=0，l 与的关系是 .答案 l∥或 l3.向量 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=（-4，-6，2），下列结论不正确的是 .①a∥b，b⊥c②a∥b，a⊥c③a∥c，a⊥b④ 以上都不对答案 ①②④4.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直，则 m,n 的值分别为 .答案 -1,25.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC上的点,A1M=AN=,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 .答案 平行【典例导析】类型题一 利用空间向量证明平行问题【例 1】如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别是 C1C...
