第 3 课时 等比数列的前 n 项和思路方法技巧命题方向 等比数列前 n 项和公式的应用［例 1］ 设数列｛an｝是等比数列，其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数列的公比 q.［分析］ 应用等比数列前 n 项和公式时，注意对公比 q 的讨论.［解析］ 当 q=1 时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当 q≠1 时，=3a1q2,因为 a1≠0,所以 1－q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得 q=-.综上所述，公比 q 的值是 1 或－.［说明］ （1）在等比数列中，对于 a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前 n 项和问题，必须注意 q 是否等于 1，如果不确定，应分 q=1 或 q≠1 两种情况讨论.（3）等比数列前 n 项和公式中，当 q≠1 时，若已知 a1,q,n 利用 Sn=来求；若已知a1,an,q,利用 Sn=来求.变式应用 1 在等比数列{an}中,已知 S3=,S6=,求 an.［解析］ S6=,S3=,∴S6≠2S3，∴q≠1. = ①∴= ②②÷① 得 1+q3=9,∴q=2.将 q=2 代入①，得 a1=,∴an=a1qn-1=2n-2.命题方向 等比数列前 n 项的性质［例 2］ 在等比数列{an}中，已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n.［分析］ 利用等比数列前 n 项的性质求解.［解析］ {an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，∴(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)用心 爱心 专心1∴S3n=+S2n=+60=63.［说明］ 等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用 2 等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求 S4.［解析］ 解法一： {an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得 S4=28 或-21. S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,∴S4=28.解法二： S2=7,S6=91,∴q≠1.=7 ①∴=91 ②得 q4+q2-12=0,∴q2=3,∴q=±.当 q=时，a1=,∴S4==28.当 q=-时，a1=-,∴S4==28.探索延拓创新命题方向 等比数列前 n 项和在实际问题中的应用［例 3］ 某公司实行股份制，一投资人年初入股 a 万元，年利率为 25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出 x 万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第 n 年年底，此投资人的本利之和 bn与 n 的关系式（不必证明）；（3）为实现第 20 年年底此投资人的本利和对于原始投资 a 万元恰好翻两番的目标，若 a=395,则 x 的值应为多少?(...
