2012-2013学年高中数学 1.4数列在日常经济生活中的应用2学案 北师大版必修5

§4 数列在日常经济生活中的应用思路方法技巧命题方向 单利计算问题［例 1］ 有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.它的本利和公式如下：本利和=每期存入金额×［存期+存期×(存期+1)×利率］.(1)试解释这个本利公式.(2)若每月初存入 100 元，月利率 5.1‰，到第 12 月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是 5.1‰，希望到第 12 个月底取得本利和 2000 元，那么每月应存入多少金额？［分析］ 存款储蓄是单利计息，若存入金额为 A，月利率为 P，则 n 个月后的利息是 nAP.［解析］ (1)设每期存入金额 A，每期利率 P，存入期数为 n，则各期利息之和为AP+2AP+3AP+…+nAP=n(n+1)AP.连同本金，就得：本利和=nA+n(n+1)AP=A［n+n(n+1)P］.(2)当 A=100,P=5.1‰,n=12 时，本利和=100×（12+×12×13×5.1‰）=1239.78(元).(3)将(1)中公式变形得A==≈161.32(元).即每月应存入 161.32 元.［说明］ 单利的计算问题，是等差数列模型的应用.变式应用 1 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是 2.7‰.(1)欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元，王先生每月大约存入多少元？(2)若“教育储蓄”存款总额不超过 2 万元，零存整取 3 年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时 3 年后本息合计约为多少元？（精确到 1 元）［解析］ （1）设王先生每月存入 A 元，则有A(1+2.7‰)+A(1+2×2.7‰)+…+A(1+36×2.7‰)=20000,利用等差数列前 n 项和公式，得 A（36+36×2.7‰+×2.7‰）=20000,解得 A≈529 元.（2）由于教育储蓄的存款总额不超过 2 万元，所以 3 年期教育储蓄每月至多存入≈555（元），这样，3 年后的本息和为：555(1+2.7‰)+555(1+2×2.7‰)+…+555(1+36×2.7‰)=555（36+36×2.7‰+×2.7‰）≈20978（元）.命题方向 复利计算问题用心 爱心 专心1［例 2］ 某人参加工作后，计划参加养老保险.若第一年年末存入 p 元，第二年年末存入 2p 元，…，第 n 年年末存入 np 元，年利率为 k.问第 n+1 年年初他可一次性获得养老金（按复利计算本利和）多少元？［分析］ 分期存款，应利用“本利和本金×(1+利率)”分段计算.第 1 年年末存入的 p 元，到第 n+1 年年初，逐年获得的本利和构成公比为 1+k 的等比数列，即第一年的本利和为 p(1+k) n-...