第一章 数列 归纳总结专题探究专题 2 数列的前 n 项和的求法求数列的前 n 项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点.对于等差、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的运算数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和.1.分组转化法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前 n 项和可考虑拆项后利用公式求解.［例 5］ 求下列数列的前 n 项和.（1）-1,4,-7,10,…,(-1) n(3n-2),…;(2)1,2,3,…,（n+）.［分析］ (1) a2n-1+a2n=3,故可将其视作一项，但要对 n 的奇偶性进行讨论.(2) an=n+,即{an}是一个等差数列{n}与等比数列{}的和构成的，故可用拆项分组求和法.［解析］ （1）当 n 为偶数时，令 n=2k(k∈N＋),Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1) n(3n-2)=3·k=n;当 n 为奇数时，令 n=2k+1(k∈N+),Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)= . (n 为奇数)∴Sn= (n 为偶数)（2）Sn=1+2+3+…+（n+）=(1+2+3+…+n)+（+++…+）=+=+1-.［说明］ 形如{an+bn}的求和问题，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，可用“拆项分组求和”法.变式应用 5 求和：（x+）+(x2+)+…+(xn+)(x≠0,x≠y≠1).［解析］ 当 x≠1,y≠0,y≠1 时，（x+）+(x2+)+…+(xn+)用心 爱心 专心1＝（x+x2+…+xn）+(++…+)=+=.2.裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.［例 6］ 求和:1+ (n∈N＋).［分析］ 先分析通项有何特点，本题通项 an==2（ n1 -）,因此可采用裂项相消法求和.［解析］ an=n211==2（）,∴a1=2（1-）,a2=2（）,a3=2（-）,…,an=2（）,∴Sn=a1+a2+a3+…+an=2［（1-）+(-)+()+…+()］=2（1-）=.［说明］ 所谓裂项相消，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.常见的裂项变形有：① an=;②an=;③an==［］;④an==.变式应用 6 求和：＋= .［答案］ －［解析］ an=,∴=［（1-］用心 爱心 专心2= (1+--)=-.3.错位相减法若数列｛an｝为等差数列，数列｛bn｝是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为｛anbn｝，当求该数列的前 n 项的和时，常常采用将｛anbn｝的各项乘以公比 q，并项后错位一项与｛anbn｝的同次...
