2012高中数学 1.1.1正弦定理学案 新人教A版必修4VIP专享

1.1.1 正弦定理 学案【预习达标】在 ΔABC 中，角 A、B、C 的对边为 a、b、c，1.在 RtΔABC 中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。2. 在锐角 ΔABC 中，过 C 做 CD⊥AB 于 D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。3. 在钝角 ΔABC 中，∠B 为钝角，过 C 做 CD⊥AB 交 AB 的延长线 D，则|CD|= = ，即 ，故有 。【典例解析】一 新课导入，推导公式（1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例 1．在中，已知，，cm，解三角形。例 2 如图，在 ΔABC 中，∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证： 【达标练习】1. 已知 ΔABC 已知 A=600，B=300，a=3；求边 b=（） :Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ D （2）已知 ΔABC 已知 A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）A 8 B 4 C 4-3 D 8-8-（3）正弦定理的内容是————————————（4）已知 a+b=12 B=450 A=600 则则则则 a=------------------------，b=------------------------用心 爱心 专心1ABCD（5）已知在 ΔABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6，有三角形的周长为 7.5，则其三边长分别为--------------------------（6）．在 ΔABC 中，利用正弦定理证明参考答案【预习达标】1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=.3. .bsinA asinB ,, =.【典例解析】在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 1．1-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A则 b c从而在直角三角形 ABC 中， C a B(图 1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1．1-3，当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=,则， C同理可得， b a从而 A c B (图 1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A 作， C用心 爱心 专心2由向量的加法可得 则 A B∴ ∴，即同理，过点 C 作，可得 从而 类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即例 1 解：根据三角形内角和定理，；根据正弦...