2013 年高中数学 1.1 2 导数概念教案 新人教 A 版选修 2-2一.导数的定义1．引例例 1：变速直线运动的速度 设有一物体 M，沿直线从 O 点开始作变速直线运动，在 时刻运动到点 P，与点 O 的距离为，求物体 M 在时刻的瞬时速度。 已知匀速直线运动的速度为：， 变速直线运动在到这一时间段内的平均速度为，如果当时，上式的极限存在，记为，即。即为所求的物体 M 在时刻的瞬时速度。例 2：曲线的切线问题2．导数的定义 定义 1：设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量 在处取得增量（+仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数（微商），记作：，，。即：注：（1）函数在点处可导，亦可称函数在点处的导数存在（或具有导数）1 （2）函数导数的另外两种定义：，。 （3）如果不存在，称函数在点处不可导。 （4）/为函数在区间（或）上的平均变化率；而导数是因变量在点对于 的变化率，反映因变量随自变量 的变化而变化的快慢程度。导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。（5）根据导数的定义和极限存在的充要条件，相应地定义函数在点处右可导、左导数如下（分别记右可导、左导数为，）： ， 。且有：函数在点处可导函数在处，、都存在，= . (即函数在点处可导数的充要条件是函数在点处既右可导、有左可导)。 3．函数在区间上（内）可导的概念： （1）若函数在开区间内每一点都可导，则称函数在开区间内可导。 （2）若函数在开区间内每一点都可导，且存在，则称函数在区间上可导。2 （3）若函数在开区间内每一点 都可导，且，存在；则称函数在闭区间上可导。 4．导函数若 函 数在 开 区 间内 可 导 ， 则 对， 总 有 确 定 的与之对应，从而得到一个以 为自变量的新函数，称此函数为函数的导函数，简称为导数，记为：，，。二．导数的几何意义：由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图： 表示函数曲线在点（处的切线的斜率。曲线上点的曲线的切线方程为：3曲线上点的曲线的法线方程为：。三．简单函数的导数例 2： 求函数（n 为正整数）在处的导数更一般地,对于幂函数（为常数）,有例 3： 求函数的导数即 例 4：求函数的导数.解 ：=即：这就是指数函数的导数公式,特殊地,当时,因,故有： 例 5：求函数的导数.4 例 6：求曲线在...
