2013 年高中数学 1.3 2 二项式定理及其应用教案 新人教 A 版选修选修 2-3一、求某项的系数：【例 1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（407）（2）求（1+x-x2）6展开式中含 x5的项．（）二、证明组合数等式：练习（12345）例 2 计算：1.9975（精确到 0.001）．师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．1例 3：（1996 年全国高考有这样一道应用题）某地现有耕地 10 000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22％，人均粮食占有量比现在提高 10％．如果人口年增长率为 1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到 1公顷）？例 3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数 n，经过 23n+3＋7n＋5 天后的那一天是星期几？生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数 n，23n+3+7n＋5 被 7除的余数．受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用数，7n 也是 7 的倍数，最后余数是 1 加上 5，是 6 了．师：请同学们在笔记本上完成此题的解答（教师请一名同学板演）解：由于 23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5则 23n+3＋7n＋5 被 7 除所得余数为 62所以对于任意自然数 n，经过 23n+3＋7n＋5 后的一天是星期日．师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1 能被 19 整除吗？（教师在教室内巡视，3 分钟后找学生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77由于 76 能被 19 整除，因此 7777-1 能被 19 整除．师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把 7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项 5877仍然不易判断是否能被 19 整除，于是我想到若 7777-1 能被 38，或能被 57，或能被 76，或能被 95 整除，必能被 19 整除，而 76 与 77 只差 1，故欲证 7777-1 被 19 整除，只需证（76+1）77被 76 整除．得到了以上的解法．师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题例 4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且 n≥2）．师：仍然由同学先谈谈自己的想法．生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将 3 换成 2＋1．注意到：① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）；3② n≥2，右式至少三项；这样，可以得到 3n＞2n-1（n＋2）（n∈N...
