导数及均值不等式在生活中的优化问题中的应用生活中经常遇到求利润 最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。导数是解决最值问题有力的工具之一，我们常用求函数的导数来确定最优解。但是除此之外，均值不等式在解决此类问题时也有其自身的特点，下面我将通过一些具体的例子来作简单的说明。【例 1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1-1 所示的竖向的海报，要求版心面积为 128，上、下两边各空 2，左右两边各空 1，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？解：设版心的高为，则版心的宽为，此时四周空白的面积为 解法一：（导数法）求函数的导数得：；令，解得：，于是宽为。当时，，当时，，因此，是函数的极小值点，也是最小值点，所以，当版心高为 16，宽为 8时，能使四周空白面积最小。解法二：（均值不等式法） ∴（利用均值不等式：若，当且仅当时取等号）当且仅当，即时取等号，此时宽为，所以，当版心高为 16，宽为 8时，能使四周空白面积最小。【例 2】以长为 10 的线段为直径作半圆，求它的内接矩形面积的最大值。解：如图 2-1 所示，设，∴∴面积 （）1图 1-1解法一：（导数法）求函数的导数得：，令，解得：（舍去）当时，，当时，；∴在时，取得极大值，也是最大值；因此当时，它的内接矩形面积最大，最大值为 25。解法二：（均值不等式法），（）当且仅当，即时取等号。（利用均值不等式：若，当且仅当时取等号）【例 3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为：（），已知甲乙两地相距 100 千米，当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：当速度为 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升。∴，（）解法一：（导数法）求函数的导数得：， 令，解得：，当时，，当时，；∴在时，取得极小值，也是最小值。解法二：（均值不等式法）2AB图 2-1当且仅当，即时取等号。（利用均值不等式：若，当且仅当时取等号）【例 4】用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为 m，则长为m，高为（m），故长方体的体积为：（）解法一：（导数法）求函数的导数得：令：，解得：（），当时，，当时，；故时，取得极大...
