柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式（一）教学目 标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式
教学难点：理解几何意义
教学过程：一、复习准备：1
提问： 二元均值不等式有哪几种形式
答案：及几种变式
练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证 证法：（比较法）=…
=二、讲授新课：1
柯西不等式：① 提出定理 1：若 a、b、c、d 为实数，则
→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号
② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法
证法二：（综合法）
（要点：展开→配方） 证法三：（ 向量法）设向量，，则，
∵ ，且，则
证法四：（函数法）设，则≥0 恒成立
∴ ≤0，即…
③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式
变式： 或 或
④ 提出定理 2：设是两个向量，则
即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立
（是零向量，或者共线）⑤ 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证
证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义
（构造三角形）2
教学三角不等式：1① 出示定理 3：设，则
分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若，则结合以上几何意义 ，可得到怎样的三角不等式
三、应用举例：例 1：已知 a,b 为实数，求证说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算
所以 ，经典不等式是数学研究的有力工具
例题 2：求函数的最大值
分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件
这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值
（）解：函数的定义域为【1，5】，且 y>0
