二维形式的柯西不等式（二）教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习引入：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：；2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式 求函数的最大值? 要点：利用变式.二、讲授新课：1. 最大（小）值：① 出示例 1：求函数的最大值 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： → 推广：② 练习：已知，求的最小值. 解答要点：（凑配法）. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 不等式的证明：① 出示例 2：若，，求证：.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点：… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知、，求证：.三、应用举例：例 1 已知 a1,a2,…,an都是实数，求证：分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例 2 已知 a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da1 分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。分析：由形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：1. 练习：教材 P37 8、9 题 练习：1．设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求的最小值。 2．已知 a+b+c+d=1，求 a2+b2+c2+d2的最小值。 3．已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求的最大值。选做：4．已知 a，b，c 为正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的最小值。（08 广一模） 5．已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求的最小值。（08 东莞二模） 6．已知 x+y+z=，则 m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08 惠州调研)五、布置作业：教材 P37 1、6、7 题① 已知，且，则的最小值. 要点：…. → 其它证法② 若，且，求的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若，且，求的最大值.六、课堂小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 2
