2013届高中数学竞赛教案讲义（3）函数

第三章 函数一、基础知识定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: A→B 为一个映射。定义 2 单射，若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, xy, 都有 f(x)f(y)则称之为单射。定义 3 满射，若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B，都有一个 x∈A 使得 f(x)=y，则称 f: A→B 是A 到 B 上的满射。定义 4 一一映射，若 f: A→B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1构成的映射，记作 f-1: A→B。定义 5 函数，映射 f: A→B 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若 x∈A, y∈B，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y），则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3x -1 的定义域为{x|x≥0,x∈R}. 定义 6 反函数，若函数 f: A→B（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: A→B 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=x11的反函数是 y=1- x1 (x0).定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义 7 函数的性质。（1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2，总有 f(x1)f(x2))，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的 x∈D，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 x∈D，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时 ，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。1定义 8 如果...