第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>ba-b>0； （2）a>b, b>ca>c；（3）a>ba+c>b+c； （4）a>b, c>0ac>bc；（5）a>b, c<0ac
b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+an>bn; （8）a>b>0, n∈N+;（9）a>0, |x|ax>a 或 x<-a;（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x, y, z∈R+，则 x+y≥2, x+y+z 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。（6）因为 a>b>0, c>d>0，所以 ac>bc, bc>bd，所以 ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即 a≤b，与 a>b 矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为 x+y-2≥0，所以 x+y≥，当且仅当 x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令， 因 为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以 a3+b3+c3≥3abc，即 x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z 时成立。二、方法与例题1．不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明 A>B 或 A0）与 1 比较大小，最后得出结论。例 1 设 a, b, c∈R+ ， 试 证 ： 对 任 意 实 数 x, y, z, 有 x2+y2+z2例 2 若 a(n+1)n.（4）反证法。例 6 设实数 a0, a1,…,an 满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,…, an-2-2an-1+an≥0，求证 ak≤0(k=1, 2,…, n-1).（5）分类讨论法。例 7 已知 x, y, z∈R+，求证：（6）放缩法，即要证 A>B，可证 A>C1, C1≥C2,…,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).例 8 求证：例 9 已知 a, b, c 是△ABC 的三条边长，m>0，求证：2（7）引入参变量...
