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2013届高中数学竞赛教案讲义(16)平面几何

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第十六章 平面几何一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成)梅涅劳斯定理 设分别是 ΔABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若三点共线,则 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若则三点共线。塞瓦定理 设分别是 ΔABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若三线平行或共点,则 塞瓦定理的逆定理 设分别是 ΔABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若则三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分别是 ΔABC 的三边 BC,CA,AB 所在直线上的点,则平行或共点的充要条件是广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB•CD+BC•AD≥AC•BD,当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。斯特瓦特定理 设 P 为 ΔABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C,则有AP2=AB2•+AC2•-BP•PC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九点共圆。蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。(到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为一条直线,这条直线称根轴)欧拉定理 ΔABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且二、方法与例题11.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重合。例 1 在 ΔABC 中 , ∠ ABC=700 , ∠ ACB=300 , P , Q 为 ΔABC 内 部 两 点 ,∠QBC=∠QCB=100,∠PBQ=∠PCB=200,求证:A,P,Q 三点共线。2面积法。例 2 ◇ABCD 中,E,F 分别是 CD,BC 上的点,且 BE=DF,BE 交 DF 于 P,求证:AP 为∠BPD 的平分线3.几何变换。例 3 (蝴蝶定理)AB 是⊙O 的一条弦,M 为 AB 中点,CD,EF 为过 M 的任意弦,CF,DE 分别交 AB于 P,Q。求证:PM=MQ。例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的相似比为 1995,而且每个三角形三个顶点同色。4.三角法。例 5 设 AD,BE 与 CF 为 ΔABC 的内角平分线,D,E,F 在 ΔABC 的边上,如果∠EDF=900,求∠BAC的所有可能的值。5.向量法。例 6 设 P 是 ΔABC 所在平面上的一点,G 是 ΔABC 的重心,求证:PA+PB+PC>3PG.26.解析法。例 7 H 是 ΔABC 的垂心,P...

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