2013届高中数学竞赛教案讲义（16）平面几何

第十六章 平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设分别是 ΔABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。塞瓦定理 设分别是 ΔABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上的点，若三线平行或共点，则 塞瓦定理的逆定理 设分别是 ΔABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分别是 ΔABC 的三边 BC，CA，AB 所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形，则 AB•CD+BC•AD≥AC•BD，当且仅当 A，B，C，D 四点共圆时取等号。斯特瓦特定理 设 P 为 ΔABC 的边 BC 上任意一点，P 不同于 B，C，则有AP2=AB2•+AC2•-BP•PC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理 ΔABC 的外心 O，垂心 H，重心 G 三点共线，且二、方法与例题11．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例 1 在 ΔABC 中 ， ∠ ABC=700 ， ∠ ACB=300 ， P ， Q 为 ΔABC 内 部 两 点 ，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q 三点共线。2面积法。例 2 ◇ABCD 中，E，F 分别是 CD，BC 上的点，且 BE=DF，BE 交 DF 于 P，求证：AP 为∠BPD 的平分线3．几何变换。例 3 （蝴蝶定理）AB 是⊙O 的一条弦，M 为 AB 中点，CD，EF 为过 M 的任意弦，CF，DE 分别交 AB于 P，Q。求证：PM=MQ。例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为 1995，而且每个三角形三个顶点同色。4．三角法。例 5 设 AD，BE 与 CF 为 ΔABC 的内角平分线，D，E，F 在 ΔABC 的边上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。5．向量法。例 6 设 P 是 ΔABC 所在平面上的一点，G 是 ΔABC 的重心，求证：PA+PB+PC>3PG.26．解析法。例 7 H 是 ΔABC 的垂心，P...