电脑桌面
添加小米粒文库到电脑桌面
安装后可以在桌面快捷访问

2013届高中数学竞赛教案讲义(18)组合

2013届高中数学竞赛教案讲义(18)组合_第1页
1/3
2013届高中数学竞赛教案讲义(18)组合_第2页
2/3
2013届高中数学竞赛教案讲义(18)组合_第3页
3/3
第十八章 组合一、方法与例题1.抽屉原理。例 1 设整数 n≥4,a1,a2,…,an是区间(0,2n)内 n 个不同的整数,证明:存在集合{a1,a2,…,an}的一个子集,它的所有元素之和能被 2n 整除。[证明] (1)若 n{a1,a2,…,an},则 n 个不同的数属于 n-1 个集合{1,2n-1},{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数ai,aj(i≠j)属于同一集合,从而 ai+aj=2n 被 2n 整除;(2)若 n∈{a1,a2,…,an},不妨设 an=n,从 a1,a2,…,an-1(n-1≥3)中任意取 3 个数 ai, aj, ak(ai,0)不被 n 整除,考虑 n 个数 a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+an-1。ⅰ)若这 n 个数中有一个被 n 整除,设此数等于 kn,若 k 为偶数,则结论成立;若 k 为奇数,则加上 an=n 知结论成立。ⅱ)若这 n 个数中没有一个被 n 整除,则它们除以 n 的余数只能取 1,2,…,n-1 这 n-1 个值,由抽屉原理知其中必有两个数除以 n 的余数相同,它们之差被 n 整除,而 a2-a1不被 n 整除,故这个差必为 ai, aj, ak-1中若干个数之和,同ⅰ)可知结论成立。2 极端原理。例 2 在 n×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数,并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有 0,那么该行与该列所填的所有数之和不小于 n。证明:表中所有数之和不小于。[证明] 计算各行的和、各列的和,这 2n 个和中必有最小的,不妨设第 m 行的和最小,记和为k,则该行中至少有 n-k 个 0,这 n-k 个 0 所在的各列的和都不小于 n-k,从而这 n-k 列的数的总和不小于(n-k)2,其余各列的数的总和不小于 k2,从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k2≥3.不变量原理。俗话说,变化的是现象,不变的是本质,某一事情反复地进行,寻找不变量是一种策略。例 3 设正整数 n 是奇数,在黑板上写下数 1,2,…,2n,然后取其中任意两个数 a,b,擦去这两个数,并写上|a-b|。证明:最后留下的是一个奇数。[证明] 设 S 是黑板上所有数的和,开始时和数是 S=1+2+…+2n=n(2n+1),这是一个奇数,因为|a-b|与 a+b 有相同的奇偶性,故整个变化过程中 S 的奇偶性不变,故最后结果为奇数。例 4 数 a1, a2,…,an中每一个是 1 或-1,并且有...

1、当您付费下载文档后,您只拥有了使用权限,并不意味着购买了版权,文档只能用于自身使用,不得用于其他商业用途(如 [转卖]进行直接盈利或[编辑后售卖]进行间接盈利)。
2、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。
3、如文档内容存在违规,或者侵犯商业秘密、侵犯著作权等,请点击“违规举报”。

碎片内容

2013届高中数学竞赛教案讲义(18)组合

您可能关注的文档

确认删除?
VIP
微信客服
  • 扫码咨询
会员Q群
  • 会员专属群点击这里加入QQ群
客服邮箱
回到顶部