第九部分 排列组合与二项式定理[知识点]一.排列与组合1.基本原理：分类计数原理 N=m1+m2+…+mn 分步计数原理 N=m1m2…mn2.定义与公式排列组合定义从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个数列.所有排列的个数叫排列数，记为Anm。m、n∈N*且m≤n.从 n 个不同元素中取出 m 个元素并成一组，叫从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。所有组合的个数叫组合数，记为 Cnm.m、n∈N*且 m≤n.公式Anm=n(n－1)(n－2)…(n－m+1)Ann=n!, 0!=1Anm=Cnm=Cnm=, Cn0=1性质Cnm=Cnn－mCn+1m=Cnm+Cnm－1区别排列与元素顺序有关排列先取后排组合与元素顺序无关组合只取不排二.二项式定理1.定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an－1b+…+Cnran－rbr+…+Cnnbn，n∈N*2.二项式系数：Cnr，r=0,1,2,,…n.3.通项 Tr+1=Cnran－rbr (r=0,1,2…n)4.二项式系数性质⑴ 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。即 Cn0=Cnn，Cn1=Cnn－1,Cn2=Cnn－2,…⑵ 增减性：f(r)=Cnr，当 r<时，Cnr 递增，当 r≥时，Cnr 递减⑶ 最大值：幂指数 n展开式项数 n+1二项式系数最大项(中间项)值偶数奇数T奇数偶数T、T=⑷Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n Cn0+Cn2+Cn4+…=2n－1 Cn1+Cn3+Cn5+…=2n－1另：⑴二项式系数表（杨辉三角）略。⑵1⑶(a－b)n=Cn0an－Cn1an－1b+Cn2an－2b2－…+(－1)nCnnbn⑷(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn[易错点提示]1.应用两个基本原理解题时，应正确区分是分类还是分步.2.解排列组合应用题时，应注意方法及分类标准的选择，并做到层次清晰，不重不漏。3.在二项式定理中，注意系数与二项式系数、奇数项与偶数项、奇次项与偶次项的区别. Cnran－rbr 是第 r+1 项.4.多项式展开通常化为二项式展开处理，求展开式中某些项的系数(值)关系时，常用赋值法.5.用二项式定理计算余数问题时，余数不能为负数.如：∵233=811=(9－1)11=9k－1∴233 被 9 除余数为 8.6.证明形如：2n>2n (n≥3 且 n∈N)，比较 2n 与 n2 (n∈N*)大小，此类问题常用二项式定理.2
